扇形区域拉普拉斯方程傅里叶解法2

题目

问题 5：在扇形区域 {(r,θ) ⁣:r<3, ∣θ∣<π3} \{(r,\theta)\colon r<3,\ |\theta|<\frac{\pi}{3}\} {(r,θ):r<3, ∣θ∣<3π​} 中，使用傅里叶方法求解拉普拉斯方程
$$\Delta u=0,$$
边界条件为
$${\frac{\partial u}{\partial \theta }|}_{\theta =-\frac{\pi }{3}}={\frac{\partial u}{\partial \theta }|}_{\theta =\frac{\pi }{3}}=0,{u|}_{r=3}=\theta .$$
解应以适当的傅里叶级数形式表示。

解答

考虑扇形区域 $$r<3$$，$$|\theta |<\frac{\pi }{3}$$ 上的拉普拉斯方程 $$\Delta u=0$$，边界条件为：

• 在径向边界 $$\theta =\pm \frac{\pi }{3}$$ 上，切向导数为零（齐次 Neumann 条件）：$$\frac{\partial u}{\partial \theta }=0$$。
• 在弧边界 $$r=3$$ 上，Dirichlet 条件：$$u=\theta$$。

使用分离变量法求解。假设解的形式为 $$u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$$。代入拉普拉斯方程在极坐标下的表达式：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}=0,$$
得到：
$$r^2{R}^{\prime \prime }\Theta +r{R}^{\prime }\Theta +R{\Theta }^{\prime \prime }=0,$$
除以 $$R\Theta$$：
$$\frac{r^2{R}^{\prime \prime }}{R}+\frac{r{R}^{\prime }}{R}=-\frac{{\Theta }^{\prime \prime }}{\Theta }=\lambda ,$$
其中 $$\lambda$$ 是分离常数。因此，得到两个常微分方程：

1. $${\Theta }^{\prime \prime }+\lambda \Theta =0$$，
2. $$r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }-\lambda R=0$$。

角向部分 $$\Theta (\theta )$$ 的求解

边界条件为 $${\Theta }^{\prime }(-\pi /3)=0$$ 和 $${\Theta }^{\prime }(\pi /3)=0$$。方程 $${\Theta }^{\prime \prime }+\lambda \Theta =0$$ 的通解为：
$$\Theta (\theta )=A\cos (\sqrt{\lambda }\theta )+B\sin (\sqrt{\lambda }\theta ).$$
应用边界条件：

• 在 $$\theta =\pi /3$$：$${\Theta }^{\prime }(\pi /3)=-A\sqrt{\lambda }\sin (k)+B\sqrt{\lambda }\cos (k)=0$$，其中 $$k=\sqrt{\lambda }\pi /3$$。
• 在 $$\theta =-\pi /3$$：$${\Theta }^{\prime }(-\pi /3)=A\sqrt{\lambda }\sin (k)+B\sqrt{\lambda }\cos (k)=0$$。

得到方程组：
$$\{\begin{array}{l}-A\sin (k)+B\cos (k)=0,\\ A\sin (k)+B\cos (k)=0.\end{array}$$
相加得 $$2B\cos (k)=0$$，相减得 $$-2A\sin (k)=0$$。因此：

• 若 $$\sin (k)=0$$，则 $$k=n\pi$$（$$n$$ 整数），$$\lambda =(3n{)}^2=9n^2$$，且 $$B=0$$，所以 $${\Theta }_n(\theta )=\cos (3n\theta )$$。
• 若 $$\cos (k)=0$$，则 $$k=(2m+1)\pi /2$$（$$m$$ 整数），$$\lambda ={\left(\frac{3(2m+1)}{2}\right)}^2=\frac{9(2m+1{)}^2}{4}$$，且 $$A=0$$，所以 $${\Theta }_m(\theta )=\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right)$$。

特征值和特征函数为：

• $${\lambda }_n=9n^2$$，$${\Theta }_n(\theta )=\cos (3n\theta )$$，$$n=0,1,2,\dots$$（当 $$n=0$$ 时，$${\Theta }_0=1$$）。
• $${\lambda }_m=\frac{9(2m+1{)}^2}{4}$$，$${\Theta }_m(\theta )=\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right)$$，$$m=0,1,2,\dots$$。

在区间 $$[-\pi /3,\pi /3]$$ 上，这些特征函数正交：

• $${\varphi }_n(\theta )=\cos (3n\theta )$$ 是偶函数，$$\Vert {\varphi }_n{\Vert }^2=\pi /3$$（$$n\ge 1$$），$$\Vert {\varphi }_0{\Vert }^2=2\pi /3$$。
• $${\psi }_m(\theta )=\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right)$$ 是奇函数，$$\Vert {\psi }_m{\Vert }^2=\pi /3$$。
• 不同奇偶性的特征函数内积为零。

径向部分 $$R(r)$$ 的求解

要求解在 $$r=0$$ 处有界。

• 对于 $${\lambda }_n=9n^2$$，方程 $$r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }-9n^{2}R=0$$ 为 Euler 方程，解为 $$R_n(r)=c_n{r}^{3n}$$（当 $$n=0$$ 时，$$R_0(r)=\text{常数}$$)。
• 对于 $${\lambda }_m=\frac{9(2m+1{)}^2}{4}$$，解为 $$R_m(r)=d_m{r}^{\frac{3(2m+1)}{2}}$$。

通解为：
$$u(r,\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{r}^{3n}\cos (3n\theta )+\sum _{m=0}^{\infty }{b}_m{r}^{\frac{3(2m+1)}{2}}\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right).$$

应用边界条件 $$u(3,\theta )=\theta$$

在 $$r=3$$ 时：
$$u(3,\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{3}^{3n}\cos (3n\theta )+\sum _{m=0}^{\infty }{b}_m{3}^{\frac{3(2m+1)}{2}}\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right)=\theta .$$
由于 $$\theta$$ 是奇函数，且 $$\cos (3n\theta )$$ 是偶函数，$$\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right)$$ 是奇函数，因此偶函数部分系数必须为零：
$$a_n=0\text{for all }n=0,1,2,\dots .$$
剩余部分：
$$\sum _{m=0}^{\infty }{d}_m\sin \left(k_m\theta \right)=\theta ,k_m=\frac{3(2m+1)}{2},$$
其中 $$d_m=b_m{3}^{\frac{3(2m+1)}{2}}$$。系数 $$d_m$$ 由傅里叶系数公式给出：
$$d_m=\frac{⟨\theta ,{\psi }_m⟩}{\Vert {\psi }_m{\Vert }^2}=\frac{{\int }_{-\pi /3}^{\pi /3}\theta \sin (k_m\theta )d\theta }{\pi /3}.$$
被积函数为偶函数，所以：
$$d_m=\frac{6}{\pi }{\int }_0^{\pi /3}\theta \sin (k_m\theta )d\theta .$$
计算积分（分部积分）：
$${\int }_0^{\pi /3}\theta \sin (k_m\theta )d\theta ={\left[-\theta \frac{\cos (k_m\theta )}{k_m}\right]}_0^{\pi /3}+{\int }_0^{\pi /3}\frac{\cos (k_m\theta )}{k_m}d\theta =-\frac{\pi }{3}\frac{\cos (k_m\pi /3)}{k_m}+\frac{1}{k_m^2}\sin (k_m\pi /3).$$
代入 $$k_m\pi /3=\frac{(2m+1)\pi }{2}$$：
$$\cos \left(\frac{(2m+1)\pi }{2}\right)=0,\sin \left(\frac{(2m+1)\pi }{2}\right)=(-1{)}^m,$$
所以：
$${\int }_0^{\pi /3}\theta \sin (k_m\theta )d\theta =\frac{(-1{)}^m}{k_m^2}.$$
因此：
$$d_m=\frac{6}{\pi }\cdot \frac{(-1{)}^m}{k_m^2}=\frac{6}{\pi }\cdot \frac{(-1{)}^m}{{\left(\frac{3(2m+1)}{2}\right)}^2}=\frac{6}{\pi }\cdot \frac{4(-1{)}^m}{9(2m+1{)}^2}=\frac{24}{9\pi }\frac{(-1{)}^m}{(2m+1{)}^2}=\frac{8}{3\pi }\frac{(-1{)}^m}{(2m+1{)}^2}.$$
解得 $$b_m$$：
$$b_m=\frac{d_m}{3^{\frac{3(2m+1)}{2}}}=\frac{8}{3\pi }\frac{(-1{)}^m}{(2m+1{)}^2}\cdot 3^{-\frac{3(2m+1)}{2}}.$$
代入通解：
$$u(r,\theta )=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{8}{3\pi }\frac{(-1{)}^m}{(2m+1{)}^2}{\left(\frac{r}{3}\right)}^{\frac{3(2m+1)}{2}}\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right).$$
简化表达式：
$$u(r,\theta )=\frac{8}{3\pi }\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^m}{(2m+1{)}^2}{\left(\frac{r}{3}\right)}^{\frac{3(2m+1)}{2}}\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right).$$
或等价地：
$$u(r,\theta )=\frac{8}{3\pi }\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^m}{(2m+1{)}^2}{r}^{\frac{3(2m+1)}{2}}{3}^{-\frac{3(2m+1)}{2}}\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right).$$

最终解

解为以下傅里叶级数形式：
$$\boxed{u(r,\theta )=\frac{8}{3\pi }\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^m}{(2m+1{)}^2}{\left(\frac{r}{3}\right)}^{\frac{3(2m+1)}{2}}\sin \left(\frac{3(2m+1)}{2}\theta \right)}$$
此级数在区域 $$r<3$$，$$|\theta |<\pi /3$$ 内收敛，并满足给定的边界条件。