拟合算法（1）

与插值的区别

插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那 么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。

尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到 一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可，这就是拟合的思想。(拟合的结果是得到一个确定的曲线）

最小二乘法的几何解释

求解最小二乘法

Matlab求解最小二乘

clear;clc
load  data1
plot(x,y,'o')
% 给x和y轴加上标签
xlabel('x的值')
ylabel('y的值')
n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
hold on % 继续在之前的图形上来画图形
grid on % 显示网格线% % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)
% % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% xx = 2.5: 0.1 :7  % 间隔设置的越小画出来的图形越准确
% yy = k * xx + b  % k和b都是已知值
% plot(xx,yy,'-')% 匿名函数的基本用法。
% handle = @(arglist) anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
% anonymous_function为匿名函数的表达式。
% 举个小例子
%  z=@(x,y) x^2+y^2; 
%  z(1,2) 
% % ans =  5
% fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形。
% fplot(f,xinterval) 将匿名函数f在指定区间xinterval绘图。xinterval =  [xmin xmax] 表示定义域的范围f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[2.5,7]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

如何判断拟合的好坏

计算拟合优度的代码

y_hat = k*x+b; % y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  % 回归平方和
SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
SST-SSE-SSR   % 5.6843e-14  =   5.6843*10^-14   matlab浮点数计算的一个误差
R_2 = SSR / SST