回溯算法（Backtracking Algorithm）

回溯算法（Backtracking Algorithm）是一种系统性地搜索问题解的算法设计思想，常用于解决组合、排列、搜索、路径探索等类型的问题。它通过尝试所有可能的选择来寻找问题的解，如果某个选择无法通向有效解，则“回溯”到之前的状态，尝试其他选择。

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回溯算法的核心思想：

• 深度优先搜索（DFS）：回溯算法本质上是一种递归的 DFS 搜索。
• 剪枝（Pruning）：在搜索过程中，一旦发现当前路径不可能通向有效解，就立即停止继续探索，回退到上一步，尝试其他路径。
• 试探性求解：尝试填入一个候选解，若无法成功则撤销操作，尝试下一个候选。

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回溯算法的典型应用场景：

1. 组合问题：如从一组数中选出所有满足条件的组合。
2. 排列问题：如生成一个数组的所有排列。
3. 子集问题：如找出一个集合的所有子集。
4. 数独、八皇后等约束满足问题。
5. 迷宫路径搜索。
6. 图的着色、哈密尔顿回路等问题。

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回溯算法的基本模板（Python）：

def backtrack(path, choices):if 满足结束条件:将 path 加入结果集returnfor 选择 in 可选 choices:做选择（将该选择加入 path）backtrack(path, 新的选择集)撤销选择（回溯）

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示例：全排列问题

def permute(nums):res = []def backtrack(path, remaining):if not remaining:res.append(path[:])  # 将当前排列加入结果集returnfor i in range(len(remaining)):path.append(remaining[i])              # 做选择backtrack(path, remaining[:i] + remaining[i+1:])  # 递归进入下一层path.pop()                              # 撤销选择backtrack([], nums)return res

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特点与优缺点：

优点：

• 能系统地尝试所有可能解，适合小规模问题。
• 实现直观，逻辑清晰。
• 适用于组合、排列、约束满足等问题。

缺点：

• 时间复杂度高，通常是 指数级 O(N!) 或 O(2^N)。
• 对大规模问题不适用，需结合剪枝、记忆化等优化手段。