最终分配算法【论文材料】

一、最终分配算法

  上一步合法化后，group 的 TDM 情况大致分为两类，一类是平衡的，最大的一些 group 的 TDM 比较接近。另外一种情况就是不平衡的，最大的 group远超其他的 group【这种情况是由于该 group 的边远超其他网组】。对于，这两类情况，最终分配有不同的处理方式。

1.1 平衡的情况

  对于 e 来说，经过 e 的网络都会分配一个 TDM ，而 TDM 的倒数和要小于等于 1 【即 $1\le \frac{1}{T_{e,n1}}+\frac{1}{T_{e,n2}}+\cdots \frac{1}{T_{e,nm}}$ 】。所以我们可以尝试从 TDM 的倒数方面入手，可以将 TDM 的倒数可以看成我们为经过 e 的网络分配资源 r ，资源总和要小于等于 0 。

  经过前面的算法，会剩余一些资源，我们这步要做的就是利用这些剩余资源。对于平衡的情况，那么我们就将资源根据比例分配给每个边【肯定不能平均分配，对于 TDM 大的边，一些资源就可以降低比较大的 TDM ，所以 TDM 越大，分配的资源就要越多】。所以我们可以得到公式：
$$\begin{array}{c}{r}^{\prime }=r+R(e)\cdot p\end{array}$$
  其中 r 表示该边分配的资源，其倒数就是 TDM ；R(e) 表示 e 的剩余资源 ；p 表示该边分配资源的比例，考虑到 TDM 越大，则应该要分配越多的资源，所以比例我们可以这样设计，我们先计算经过 e 的网络的 TDM 总和【参与计算的是 $T_{e,n}$】，然后根据其 TDM 在总和的比例来分配。所以我们得到下面公式：
$$\begin{array}{c}\frac{1}{T_{e,n}^{\prime }}=\frac{1}{T_{e,n}}+(1-\sum _{n\in N_e}\frac{1}{T_{e,n}})\frac{T_{e,n}}{T_e}\end{array}$$
  右边通分得：
$$\frac{1}{T_{e,n}^{\prime }}=\frac{T_e+(1-\sum _{n\in N_e}\frac{1}{T_{e,n}})T_{e,n}^2}{T_{e,n}{T}_e}$$
  两边同时倒数得：【就是公式 16 】
$$T_{e,n}^{\prime }=\frac{T_{e,n}{T}_e}{T_e+(1-\sum _{n\in N_e}\frac{1}{T_{e,n}})T_{e,n}^2}$$

1.2 不平衡的情况

  对于不平衡的情况【不平衡的情况一定是存在一些网组的边很多，而在 TDM 合法化后，每条边都有概率加 1 ，所以整体就变得很大】

  在满足剩余资源 >=0 的情况下，我们则先将最大 group 的每条边的 TDM 都 - 2 ，同时记得更新剩余资源。

  在上一步，我们的剩余资源已经被消耗的比较多了，所以接下来就要考虑将剩下的剩余资源分配给哪些边，对于 TDM 比较大的边，分配给一点资源就可以降低比较多的 TDM 。例如：TDM 为 10 和 100 的两条边，分配给 0.1 的资源：

• 对于 TDM 为 10 的边， TDM 可以从 10 降到 5 ，只减少了 5 。
  【原本该边占有资源为 $\frac{1}{10}$，在分配 0.1 的资源就是 $\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}$，TDM 为 5 】
• 对于 TDM 为 100 的边，则其 TDM 可以从 100 降到 10，减少了 90。
  【原本该边的资源为 $\frac{1}{100}$，分配给 0.1 的资源后就是 $\frac{1}{100}+\frac{1}{10}=\frac{11}{100}$，TDM 为 $\frac{100}{11}\approx 9.8$ ，合法化后为 10 】

  所以，我们优先考虑降资源分配给 TDM 较大的边，如何考虑这条边是否要分配资源 ，我们则按照这条边的 TDM 是否大于穿过这条边的 net 数决定。【只是选取一个阈值，因为对于不同的 e 来说，他们内部的资源分配情况不一样，比如有的 TDM 为 2，4，4 。有的 TDM 为 10 个 10 。所以不同的 e 必须要选取不同的阈值，而穿过 e 的网络数就比较合适】

  对于 e 来说，有很多条边，我们先统计需要分配资源的边的 TDM 和 sum ，然后根据该边在 sum 的占比分配资源，就像公式 （2） 那样，只不过我们将资源分配给部分边，所以占比的分母 $T_e$ 就要修改为前面统计的部分边的 TDM 和。

  例如：边 e 存在 TDM ：2 ，10，10，10。根据该算法，网络数是 4 ，剩余资源为 $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{10}-\frac{1}{10}-\frac{1}{10}=\frac{2}{10}$。

• TDM 为 2 的边不分配资源，因为他的 TDM 小于网络数 4 。
• 所以我们将这 $\frac{2}{10}$ 的资源分配给 TDM 为 10 的三条边。每条边占比为 $\frac{10}{30}$，所以每条边的资源都是 $\frac{1}{10}+\frac{2}{10}\frac{10}{30}=\frac{1}{6}$ ，即每条边的 TDM 都变为 6

1.3 TDM 约束

  对于 TDM 约束，肯定是满足的，我们只是将剩余资源再分配而已，无论怎么分配，资源总量肯定小于等于 1 。