概率论与数理统计(四)

二维随机变量

进行 $E$ 实验，其样本空间为 $\Omega$，取 $X,Y$ 为 $\Omega$ 的两个随机变量

联合分布函数：F(x,y)=P{X⩽x,Y⩽y}F(x,y) = P\{ X \leqslant x,Y\leqslant y \}F(x,y)=P{X⩽x,Y⩽y}

二维离散型联合概率分布及边缘分布

1、联合分布可唯一确定边缘分布

2、边缘分布不能确定联合分布

二维连续型联合概率分布及边缘分布

F(x,y)=P{X⩽x,Y⩽y}=∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt F(x,y) = P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f(s,t)dsdt F(x,y)=P{X⩽x,Y⩽y}=∫−∞x​∫−∞y​f(s,t)dsdt

即有：

$$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$$

若 $G$ 为 $XY$ 平面内的一个区域，那么有：

$$P\{(X,Y)\in G\}=\underset{G}{\iint }f(x,y)dxdy$$

二维随机变量的边缘密度函数

对于边缘分布函数：

$$F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,t)dt\right]ds$$

则边缘密度函数由边缘分布函数求导可得：

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$$

同理有

$$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s,y)ds={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$$

条件分布

在事件 $A$ 发生的条件之下，$X$ 的分布即为条件分布：

F(x ∣ A)=P{X⩽x ∣ A} F(x \ | \ A) = P\{X \leqslant x \ | \ A \} F(x ∣ A)=P{X⩽x ∣ A}

连续型的条件分布

定义：给定二维随机变量 $(X,Y)$，密度函数 $f(x,y)$，其边缘密度函数 $f_X(x),f_Y(y)$ 已知；若 $ f_Y(y) > 0$，在 $Y=y$ 的条件下有：

$$F(x|y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(u)}du$$

$$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

当 $X=x$ 情形同理；

相关证明：

P{X⩽x ∣Y=y}=X⩽x,Y=yY=y=lim⁡ε→0P{X⩽x,y⩽Y⩽y+ε}P{y⩽Y⩽y+ε}=lim⁡ε→0∫−∞x1ε∫yy+εf(u,v)dudv1ε∫yy+εfY(v)dv=lim⁡v→y∫−∞xf(u,v)dufY(v)=∫−∞xf(u,y)fY(y)du \begin{align*}P\{X \leqslant x \ | Y = y\} &= \frac{X \leqslant x,Y=y}{Y=y} \\&=\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{P\{ X\leqslant x,y \leqslant Y \leqslant y+\varepsilon \}}{P\{ y \leqslant Y \leqslant y + \varepsilon \}} \\&=\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\int_{-\infty}^x\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f(u,v)dudv}{\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f_Y(v)dv}\\&=\lim_{v\to y}\frac{\int^x_{-\infty}f(u,v)du}{f_Y(v)}\\&=\int_{-\infty}^x \frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du \end{align*} P{X⩽x ∣Y=y}​=Y=yX⩽x,Y=y​=ε→0lim​P{y⩽Y⩽y+ε}P{X⩽x,y⩽Y⩽y+ε}​=ε→0lim​ε1​∫yy+ε​fY​(v)dv∫−∞x​ε1​∫yy+ε​f(u,v)dudv​=v→ylim​fY​(v)∫−∞x​f(u,v)du​=∫−∞x​fY​(y)f(u,y)​du​

随机变量的独立性

随机变量独立的定义：

P{x∈Sx,Y∈Sy}=P{X∈Sx}P{Y∈Sy} P\{x\in S_x,Y\in S_y\}=P\{X\in S_x\}P\{Y\in S_y\} P{x∈Sx​,Y∈Sy​}=P{X∈Sx​}P{Y∈Sy​}

判断随机变量独立的条件：

$$\begin{array}{rl}& f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\\ & F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\end{array}$$

定理：$X,Y$ 为相互独立的随机变量，那么 $g_1(X),g_2(Y)$ 也是相互独立的

1、二维离散型随机变量的独立性

若有：

P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj} P\{ X=x_i,Y=y_j \}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\} P{X=xi​,Y=yj​}=P{X=xi​}P{Y=yj​}

对任意的 $i$ 与 $j$ 均成立，可认为离散型随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立

2、二位连续型随机变量的独立性：

判断条件为：

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

二维连续变量函数的分布

已知二维随机变量 $(X,Y)$，其概率密度函数为 $f(x,y)$，$Z=g(X,Y)$，由于：

FZ(z)=P{Z⩽z}=P{g(X,Y)⩽z}=∬Dzf(x,y)dxdy F_Z(z) = P\{Z \leqslant z\}=P\{g(X,Y)\leqslant z\} = \iint\limits_{D_z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P{Z⩽z}=P{g(X,Y)⩽z}=Dz​∬​f(x,y)dxdy

其中，$D_z=\{(x,y)|g(x,y)⩽z\}$