傅里叶变换算子性质证明

题目

问题 1：设 $$F$$ 为傅里叶变换算子：$$f(x)\to \hat{f}(k)$$。证明：
(a) $$F^{\ast }F=F{F}^{\ast }=I$$;
(b) $$(F^{2}f)(x)=f(-x)$$，因此对于偶函数 $$f$$，有 $$F^{2}f=f$$，对于奇函数 $$f$$，有 $$F^{2}f=-f$$;（注：原文中“$$F^2=-f$$”应为“$$F^{2}f=-f$$”，已修正）
© $$F^4=I$$;
(d) 如果 $$f$$ 是实值函数，则 $$\hat{f}$$ 是实值的当且仅当 $$f$$ 是偶函数；且 $$i\hat{f}$$ 是实值的当且仅当 $$f$$ 是奇函数。

解答

我们假设傅里叶变换的标准定义为：
$$(\mathcal{F}f)(k)=\hat{f}(k)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ikx}dx,$$
相应的逆变换为：
$$({\mathcal{F}}^{-1}g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(k)e^{2\pi ikx}dk.$$
在 $$L^2(\mathbb{R})$$ 空间中，傅里叶变换是酉算子。以下证明中，$$F$$ 表示傅里叶变换算子，$$I$$ 表示恒等算子，$$F^{\ast }$$ 表示 $$F$$ 的伴随算子。

(a) 证明 $$F^{\ast }F=F{F}^{\ast }=I$$

傅里叶变换的伴随算子 $$F^{\ast }$$ 等于其逆变换 $$F^{-1}$$，即 $$F^{\ast }=F^{-1}$$。
考虑内积 $$⟨f,g⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx$$（其中 $$\overline{\cdot }$$ 表示复共轭）。对任意 $$f,g\in L^2(\mathbb{R})$$，有：
$$⟨Ff,g⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)\overline{g(k)}dk={\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ikx}dx\right)\overline{g(k)}dk.$$
交换积分顺序（假设适当收敛条件）：
$$={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{g(k)}{e}^{-2\pi ikx}dk\right)dx.$$
注意到：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{g(k)}{e}^{-2\pi ikx}dk=\overline{{\int }_{-\infty }^{\infty }g(k)e^{2\pi ikx}dk}=\overline{(F^{-1}g)(x)},$$
因此：
$$⟨Ff,g⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{(F^{-1}g)(x)}dx=⟨f,F^{-1}g⟩.$$
这表明 $$F^{\ast }=F^{-1}$$。于是：
$$F^{\ast }F=F^{-1}F=I,F{F}^{\ast }=F{F}^{-1}=I.$$
故 $$F^{\ast }F=F{F}^{\ast }=I$$ 得证。

(b) 证明 $$(F^{2}f)(x)=f(-x)$$，并推导偶函数和奇函数的性质

计算两次傅里叶变换：
$$(F^{2}f)(x)=(F(Ff))(x)=\mathcal{F}(\hat{f})(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{-2\pi ikx}dk.$$
代入 $$\hat{f}(k)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(y)e^{-2\pi iky}dy$$:
$$={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(y)e^{-2\pi iky}dy{e}^{-2\pi ikx}dk={\int }_{-\infty }^{\infty }f(y)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ik(x+y)}dk\right)dy.$$
其中，积分 $${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ik(x+y)}dk$$ 是狄拉克 δ 函数 $$\delta (x+y)$$（在分布意义下）。因此：
$$={\int }_{-\infty }^{\infty }f(y)\delta (x+y)dy=f(-x)(\text{因为 }\delta (x+y)\text{ 筛选出 }y=-x).$$
故 $$(F^{2}f)(x)=f(-x)$$。

• 若 $$f$$ 是偶函数，即 $$f(-x)=f(x)$$，则 $$F^{2}f=f$$。
• 若 $$f$$ 是奇函数，即 $$f(-x)=-f(x)$$，则 $$F^{2}f=-f$$。
  因此，结论成立。

© 证明 $$F^4=I$$

由 (b) 知，$$(F^{2}f)(x)=f(-x)$$。
应用 $$F^2$$ 两次：
$$F^{4}f=(F^2\circ F^2)f=F^2(F^{2}f).$$
令 $$g=F^{2}f$$，则 $$g(x)=f(-x)$$。
于是：
$$(F^{2}g)(x)=g(-x)=f(-(-x))=f(x).$$
因此 $$F^{4}f=f$$，即 $$F^4=I$$ 得证。

(d) 设 $$f$$ 是实值函数，证明 $$\hat{f}$$ 实值当且仅当 $$f$$ 偶，且 $$i\hat{f}$$ 实值当且仅当 $$f$$ 奇

由于 $$f$$ 实值，其傅里叶变换满足共轭对称性：
$$\overline{\hat{f}(k)}={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{f(x)}{e}^{2\pi ikx}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{2\pi ikx}dx=\hat{f}(-k)(\text{因为 }f\text{ 实值}).$$
即 $$\overline{\hat{f}(k)}=\hat{f}(-k)$$。

第一部分：$$\hat{f}$$ 实值当且仅当 $$f$$ 偶

• 充分性（若 $$f$$ 偶，则 $$\hat{f}$$ 实值）：
  若 $$f$$ 是实值偶函数，则 $$\hat{f}$$ 是实值偶函数（标准性质）。
• 必要性（若 $$\hat{f}$$ 实值，则 $$f$$ 偶）：
  若 $$\hat{f}$$ 实值，则 $$\hat{f}(k)=\overline{\hat{f}(k)}=\hat{f}(-k)$$，故 $$\hat{f}$$ 偶。
  由傅里叶逆变换：
  $$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{2\pi ikx}dk.$$
  由于 $$\hat{f}$$ 实值偶函数，计算 $$f(-x)$$:
  $$f(-x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{-2\pi ikx}dk.$$
  作变量代换 $$k\to -k$$（积分限对称，且 $$\hat{f}$$ 偶）：
  $$f(-x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(-k)e^{2\pi ikx}dk={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{2\pi ikx}dk=f(x).$$
  故 $$f$$ 偶。

第二部分：$$i\hat{f}$$ 实值当且仅当 $$f$$ 奇
$$i\hat{f}$$ 实值意味着 $$\hat{f}$$ 纯虚，即 $$\overline{\hat{f}(k)}=-\hat{f}(k)$$。
由共轭对称性 $$\overline{\hat{f}(k)}=\hat{f}(-k)$$，有 $$\hat{f}(-k)=-\hat{f}(k)$$，故 $$\hat{f}$$ 奇。

• 充分性（若 $$f$$ 奇，则 $$i\hat{f}$$ 实值）：
  若 $$f$$ 是实值奇函数，则 $$\hat{f}$$ 是纯虚奇函数，故 $$i\hat{f}$$ 实值。
• 必要性（若 $$i\hat{f}$$ 实值，则 $$f$$ 奇）：
  由 $$\hat{f}$$ 奇（即 $$\hat{f}(-k)=-\hat{f}(k)$$)，计算 $$f(-x)$$:
  $$f(-x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{-2\pi ikx}dk.$$
  作变量代换 $$k\to -k$$（令 $$u=-k$$，则 $$dk=-du$$，积分限 $$k:-\infty \to \infty$$ 对应 $$u:\infty \to -\infty$$)：
  $$f(-x)={\int }_{\infty }^{-\infty }\hat{f}(-u)e^{-2\pi i(-u)x}(-du)={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(-u)e^{2\pi iux}du.$$
  由 $$\hat{f}$$ 奇，$$\hat{f}(-u)=-\hat{f}(u)$$，故：
  $$f(-x)={\int }_{-\infty }^{\infty }-\hat{f}(u)e^{2\pi iux}du=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(u)e^{2\pi iux}du=-f(x).$$
  故 $$f$$ 奇。

因此，(d) 部分得证。

结论：所有性质均已证明。