多维动态规划题解——最小路径和【LeetCode】空间优化一维数组

一、算法逻辑（逐步思路）

❓ 题目描述：

给定一个 m × n 的非负整数网格 grid，从左上角出发，只能向右或向下走，求走到右下角的路径中，路径权值之和最小是多少。

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✅ 解题思路（动态规划 + 一维滚动数组）

1. 状态定义：

• 定义一维数组 f[j+1] 表示当前处理行中，到达第 j 列位置的最小路径和；
• 数组长度为 n + 1，其中 f[0] 永远不会使用，目的是简化边界处理。

2. 初始化：

f = [inf] * (n + 1)
f[1] = 0

• 初始化第一行前的“虚拟入口”为 0，使得第一个格子 grid[0][0] 可以自然转移；
• 其余设为 inf，保证转移时不会取到非法路径。

3. 状态转移：

f[j + 1] = min(f[j], f[j + 1]) + x

• f[j] 是左边来的；
• f[j + 1] 是上边来的（因为当前是新一行，但数组中仍是旧值）；
• x 是当前格子 grid[i][j] 的值；
• 取这两个来源的最小路径，加上当前值，更新当前位置的路径和。

4. 返回结果：

• 走到最右下角 grid[m-1][n-1]，对应一维数组的 f[n]。

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二、算法核心点

✅ 核心思想：二维动态规划的空间优化

• 每个格子只依赖它左边和上边的状态，因此一行一行滚动更新就足够；
• 使用一维数组 f 来记录当前行的最小路径和，循环内覆盖更新；
• 边界偏移技巧使得代码无需特判第一行第一列。

class Solution:def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:n = len(grid[0])f = [inf] * (len(grid[0]) + 1)f[1] = 0for row in grid:for j, x in enumerate(row):f[j + 1] = min(f[j], f[j + 1]) + xreturn f[n]

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三、复杂度分析

• 时间复杂度：O(m × n)

• • 每个格子访问一次。

• 空间复杂度：O(n)

• • 只需要一个一维数组长度为 n+1。

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总结表

维度	内容
✅ 思路逻辑	一维数组滚动更新当前行，取左/上最小路径和 + 当前值
✅ 核心技巧	空间优化 + 偏移一位避免边界判断
✅ 时间复杂度	O(m × n)
✅ 空间复杂度	O(n)

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✅ 举例说明

grid = [[1, 3, 1],[1, 5, 1],[4, 2, 1]
]

• 初始 f: [inf, 0, inf, inf]
• 第一行更新后: [inf, 1, 4, 5]
• 第二行更新后: [inf, 2, 7, 6]
• 第三行更新后: [inf, 6, 8, 7]
• 最终答案为 f[3] = 7

路径为：1 → 3 → 1 → 1 → 1