算法训练营DAY34 第九章 动态规划part02
62.不同路径
62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
- 输入：m = 2, n = 3
- 输出：3
- 输入：m = 3, n = 7
- 输出：28
解题思路
1、确定dp数组每个元素的含义，
dp_i_j表示走到i，j这个点的路径数量
2、确定递推公式
每个点来自他的上方或者左方，所以路径数量等于上方位置的数量加左方位置的数量
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
3、dp数组的初始化
第一行与第一列的所有元素都初始化为1；因为都只有一条路径到达每个点。
4、确定遍历顺序
都是从上方+左方得到；所以顺序为正向；保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
5、举例推导
class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;for (int i = 1; i < m; i++){for (int j = 1; j < n; j++){dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
};63. 不同路径 II
63. 不同路径 II -
63. 不同路径 II -
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
- 输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
- 输出：2 解释：
- 3x3 网格的正中间有一个障碍物。
- 从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
- 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
思路
整体框架和上一道题一样，但是要注意初始化的一些细节，当第一行或者第一列某位置出现障碍物，障碍物之后的的值保持为0；非首行首列的障碍物格子也保持0；
1、确定dp数组每个元素的含义，
dp_i_j表示走到i，j这个点的路径数量
2、确定递推公式
每个点来自他的上方或者左方，所以路径数量等于上方位置的数量加左方位置的数量
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
3、dp数组的初始化
第一行与第一列的所有元素都初始化为1；因为都只有一条路径到达每个点。注意首行首列障碍物后置零；遍历过程中遇到障碍物的格子也置零。
4、确定遍历顺序
都是从上方+左方得到；所以顺序为正向；保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
5、举例推导
class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {int m = obstacleGrid.size();int n = obstacleGrid[0].size();if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 ||obstacleGrid[0][0] == 1) // 如果在起点或终点出现了障碍，直接返回0return 0;vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++)dp[i][0] = 1;for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++)dp[0][j] = 1;for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {if (obstacleGrid[i][j] == 1)continue;dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m - 1][n - 1];}
};
343. 整数拆分
343. 整数拆分 - 力扣（LeetCode）
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
- 输入: 2
- 输出: 1
- 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
- 输入: 10
- 输出: 36
- 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
- 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
思路
1、确定db数组元素及下标含义
dp[i]=值；i表示拆分前的数，值表示最大拆分的数的乘积
2、递推公式
dp[i]=max(dp[i],max(dp[i-j]*j,(i-j)*j));
3、dp数组初始化
dp[2]=1;dp[3]=2;dp[4]=4
4、确定遍历顺序
从前往后
5、举例推导dp数组
class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vector<int> dp(n+1);dp[2]=1;for(int i=3;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i/2;j++){dp[i]=max(dp[i],max(dp[i-j]*j,(i-j)*j));}}return dp[n];}
};96.不同的二叉搜索树
96. 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）
给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
思路挺妙的
n=3举例，头节点只有三种情况；而确定好头节点后，左右子树的元素数量就确定了；如果是1做头节点，左子树没有元素，右子树相当于n=2；如果是2做根节点，左右子树都只剩一个元素；递推关系就出来了。
1、确定dp数组及下标含义
dp[i]=值；i表示节点数量，值表示能组成多少种二叉搜索树
2、确定递推关系
j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，
j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量。
3、dp数组初始化
dp[0]=1;
4、确定遍历顺序
先遍历节点数，
遍历i里每一个数作为子头节点的状态，用j来作为这个数遍历。
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
}
}
5、举例推导
class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];}
};