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切比雪夫多项式

news 2025/7/15 9:30:06

切比雪夫多项式

约定

设函数 $f (x)$ 定义在区间 $[a, b]$ 上，则其无穷范数定义为：

$\|f\|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|$

其中：

$sup⁡\sup$ 表示上确界（least upper bound）；
当 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续时，这个上确界就是最大值。

因此若 $f (x)$ 连续，有：

$\|f\|_\infty = \max_{x \in [a,b]} |f(x)|$

一、定义

1. 第一类切比雪夫多项式 $T_n(x)$

$\cos((n+1)x)=2\cos x\cdot\cos(nx)-\cos((n-1)x)$

递归定义：
$T_0(x) = 1,\quad T_1(x) = x,\quad T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$
三角函数定义（常用于区间 $[- 1, 1]$ ）：
$T_n(x) = \cos(n \arccos x)$

2. 第二类切比雪夫多项式 $U_n(x)$

递归定义：
$U_0(x) = 1,\quad U_1(x) = 2x,\quad U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)$
三角函数定义：
$U_n(x) = \frac{\sin((n+1)\arccos x)}{\sqrt{1 - x^2}}$

切比雪夫极值定理证明（最小最大误差定理）

定理内容

在所有最高项系数为 1 的 $n$ 次多项式中，
在区间 $[- 1, 1]$ 上与 0 的最大偏差最小的多项式是：

$p_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x)$

且其最大偏差为：

$\left\| p_n \right\|_{\infty} = \frac{1}{2^{n-1}}$

证明思路

采用反证法，结合切比雪夫多项式的等振性质（Equioscillation）来证明其最小最大逼近性。

步骤一：等振性质

第一类切比雪夫多项式：
$T_n(x) = \cos(n \arccos x)$

在区间 $[- 1, 1]$ 上，有 $n + 1$ 个交错极值点 $x0<x1<⋯<xnx_0 < x_1 < \dots < x_n$ ，满足：
$T_n(x_i) = (-1)^i,\quad i = 0,1,\dots,n$

这是“等振性”（Equioscillation）的体现。

步骤二：构造归一化多项式

因为 $T_n(x)$ 的最高项系数是 $2^{n-1}$ ，所以定义单位最高项多项式：

$p_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x)$

它的最高次项系数为 1，且最大模为：

$\|p_n\|_{\infty} = \max_{x \in [-1,1]} \left| \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x) \right| = \frac{1}{2^{n-1}}$

步骤三：反证法

假设存在另一个多项式 $q_n(x)$ ，也是次数为 $n$ ，最高项系数为 1，且满足：

$\|q_n(x)\|_\infty < \|p_n(x)\|_\infty = \frac{1}{2^{n-1}}$

定义误差函数：

$E(x) = p_n(x) - q_n(x)$

则 $E (x)$ 也是次数不超过 $n$ 的多项式，且：

在 $x0,x1,…,xnx_0, x_1, \dots, x_n$ 上：
$E(x_i) = \frac{1}{2^{n-1}} (-1)^i - q_n(x_i)$
因为 $∣qn(x)∣<12n−1|q_n(x)| < \frac{1}{2^{n-1}}$ ，所以 $E(x_i)$ 的符号与 $1)^i$ 相同；
即 $E (x)$ 在区间上至少有 $n$ 个变号点 → 至少有 $n$ 个零点；
又 $deg⁡(E)≤n\deg(E) \le n$ ，所以这 $n$ 个零点是全部根；
所以 $\prod_{i=1}^n (x - \xi_i)$ ，是一个 $n$ 次多项式。

但注意：由于 $p_n(x)$ 和 $q_n(x)$ 的最高项系数都是 1，
则 $E (x)$ 的最高项系数为 0 —— 这与它是 $n$ 次多项式矛盾！

结论

矛盾说明假设不成立，
所以 $12n−1Tn(x)\boxed{\frac{1}{2^{n-1}} T_n(x)}$ 是所有单位最高项多项式中与 0 偏差最小者，
且最小偏差正好为 $12n−1\boxed{\frac{1}{2^{n-1}}}$ 。

二、正交性质

1. 第一类 $T_n(x)$ 正交性（权函数 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ ）：

$\int_{-1}^{1} T_m(x) T_n(x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \begin{cases} 0, & m \ne n \\ \pi, & n = 0 \\ \frac{\pi}{2}, & n = m \ne 0 \end{cases}$

2. 第二类 $U_n(x)$ 正交性（权函数 $\sqrt{1 - x^2}$ ）：

$\int_{-1}^{1} U_m(x) U_n(x) \sqrt{1 - x^2} dx = \begin{cases} 0, & m \ne n \\ \frac{\pi}{2}, & m = n \end{cases}$

三、性质与定理

1. 切比雪夫极值定理（最小最大误差）

在 $[- 1, 1]$ 上，最小最大误差的插值点为：
$x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n} \pi\right),\quad k=1,2,\dots,n$

2. 最佳一致逼近定理（Chebyshev Approximation）

用切比雪夫多项式进行逼近能得到一致逼近误差最小的结果。

3. 零点分布

第一类零点：
$x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n} \pi\right), \quad k=1,\dots,n$
第二类零点：
$x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1} \pi\right), \quad k=1,\dots,n$

四、应用

1. 插值理论

切比雪夫节点用于插值可显著减小误差，避免龙格现象。
比等距插值稳定得多。

2. 数值逼近

切比雪夫多项式用于构造最佳一致逼近。
广泛用于最小最大逼近问题。

3. 谱方法（Spectral Methods）

切比雪夫多项式用于偏微分方程的数值解（如Navier-Stokes）。
常配合 FFT 使用。

4. 信号处理

用作滤波器设计中的窗函数。
应用于 FIR/IIR 滤波器逼近。

5. 最优化与迭代方法

常出现在误差函数或最优逼近算法中。

五、与其他正交多项式比较

多项式类型	权函数	定义域	应用方向
切比雪夫一类 $T_n$	$11−x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$[- 1, 1]$	最小最大逼近
切比雪夫二类 $U_n$	$1−x2\sqrt{1 - x^2}$	$[- 1, 1]$	谱方法、物理建模
勒让德多项式	$1$	$[- 1, 1]$	通用正交逼近
拉盖尔多项式	$e^{-x}$	$+\infty)$	量子力学、谱分析
埃尔米特多项式	$e^{-x^2}$	$(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)$	概率统计、量子力学