傅里叶方法求解偏微分方程2

题目

使用傅里叶方法求解正方形区域 $$0<x<\pi$$，$$0<y<\pi$$ 中以下问题的所有解：

$$4u_{xx}-9u_{yy}=0,$$
边界条件：

• 在 $$y=0$$ 和 $$y=\pi$$ 时，$$u=0$$,
• 在 $$x=0$$ 和 $$x=\pi$$ 时，$$u=0$$.

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问题解决

给定偏微分方程（PDE）：
$$4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-9\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,0<x<\pi ,0<y<\pi ,$$
边界条件为齐次 Dirichlet 边界条件：

• $$u(x,0)=u(x,\pi )=0$$ 对所有 $$x\in [0,\pi ]$$,
• $$u(0,y)=u(\pi ,y)=0$$ 对所有 $$y\in [0,\pi ]$$.

这是一个线性齐次 PDE，且区域为正方形，因此使用分离变量法（Fourier 方法）求解。假设解的形式为：
$$u(x,y)=X(x)Y(y).$$
代入 PDE 得：
$$4X^{\prime \prime }(x)Y(y)-9X(x)Y^{\prime \prime }(y)=0.$$
整理为：
$$4\frac{X^{\prime \prime }}{X}=9\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}.$$
令该常数等于 $$-\lambda$$（为满足边界条件，通常取负常数），则：
$$4\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda ,9\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}=-\lambda .$$
于是得到两个常微分方程（ODE）：

1. $$X^{\prime \prime }+\frac{\lambda }{4}X=0$$, 边界条件 $$X(0)=X(\pi )=0$$,
2. $$Y^{\prime \prime }+\frac{\lambda }{9}Y=0$$, 边界条件 $$Y(0)=Y(\pi )=0$$.

求解特征值问题

对于 $$X(x)$$ 的 ODE：
$$X^{\prime \prime }+\mu X=0,\mu =\frac{\lambda }{4},X(0)=X(\pi )=0.$$
这是标准的 Sturm-Liouville 问题。特征值和特征函数为：
$${\mu }_n=n^2,X_n(x)=\sin (nx),n=1,2,3,\dots$$
因此：
$$\frac{\lambda }{4}=n^2⟹\lambda =4n^2.$$

对于 $$Y(y)$$ 的 ODE：
$$Y^{\prime \prime }+\nu Y=0,\nu =\frac{\lambda }{9},Y(0)=Y(\pi )=0.$$
特征值和特征函数为：
$${\nu }_m=m^2,Y_m(y)=\sin (my),m=1,2,3,\dots$$
因此：
$$\frac{\lambda }{9}=m^2⟹\lambda =9m^2.$$

匹配特征值

由于 $$\lambda$$ 必须同时满足两个方程，即：
$$4n^2=9m^2⟹(2n{)}^2=(3m{)}^2⟹2n=3m(\text{取正值，因为 }n,m>0).$$
令 $$m=2k$$, $$n=3k$$，其中 $$k=1,2,3,\dots$$（因为 $$m$$ 和 $$n$$ 必须是正整数）。则：
$$\lambda =4(3k{)}^2=9(2k{)}^2=36k^2.$$
对应的特征函数为：
$$X_{3k}(x)=\sin (3kx),Y_{2k}(y)=\sin (2ky).$$
因此，基本解为：
$$u_k(x,y)=\sin (3kx)\sin (2ky),k=1,2,3,\dots$$

通解

所有解为这些基本解的线性组合：
$$u(x,y)=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k\sin (3kx)\sin (2ky),$$
其中 $$c_k$$ 是任意常数。

验证解

• PDE 满足：计算二阶导数：
  $$u_{xx}=-(3k{)}^2\sin (3kx)\sin (2ky)=-9k^2{u}_k,$$
  $$u_{yy}=-(2k{)}^2\sin (3kx)\sin (2ky)=-4k^2{u}_k.$$
  代入 PDE：
  $$4(-9k^2{u}_k)-9(-4k^2{u}_k)=-36k^2{u}_k+36k^2{u}_k=0.$$
• 边界条件满足：
  • 当 $$y=0$$ 或 $$y=\pi$$ 时，$$\sin (2ky)=0$$，故 $$u=0$$。
  • 当 $$x=0$$ 或 $$x=\pi$$ 时，$$\sin (3kx)=0$$（因为 $$3k\pi$$ 是 $$\pi$$ 的整数倍），故 $$u=0$$.

解的唯一性

当 $$m$$ 和 $$n$$ 不满足 $$2n=3m$$ 时，$$\lambda$$ 无法同时满足两个特征值问题，导致只有零解。例如：

• 若 $$n=1$$，则 $$\lambda =4$$，代入 $$Y$$ 的方程：$$Y^{\prime \prime }+\frac{4}{9}Y=0$$，边界条件 $$Y(0)=Y(\pi )=0$$，仅零解（因为 $$\frac{4}{9}$$ 不是特征值）。
• 类似地，其他不满足 $$2n=3m$$ 的组合均无解。
  零特征值 ($$\lambda =0$$) 也仅得零解。因此，所有非平凡解均由上述级数给出。

答案

所有解为：
$$\boxed{u(x,y)=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k\sin (3kx)\sin (2ky)}$$
其中 $$c_k$$ 是任意常数，$$k=1,2,3,\dots$$。1