格密码--数学基础--06对偶空间与对偶格

06对偶空间与对偶格

一、对偶空间

1. 定义
   设 $V$ 是域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间，线性函数（是从一个线性空间中的V映射到数域$\mathbb{P}$的映射） $f:V\to \mathbb{P}$ 满足：
   $$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta ),f(k\alpha )=kf(\alpha ),\forall \alpha ,\beta \in V,k\in \mathbb{P}$$

2. 对偶空间 $V^{\ast }$

   • 定义：$V$ 上全体线性函数的集合 $L(V,\mathbb{P})$ 构成线性空间
   • 运算：
     $$(f+g)(x)=f(x)+g(x),(kf)(x)=kf(x)$$

3. 对偶的对偶 $V^{\ast \ast }$

   • 定义：对 $x\in V$，定义映射 $x^{\ast \ast }:V^{\ast }\to \mathbb{P}$ 满足 $x^{\ast \ast }(f)=f(x)$

   • 性质：

     1. $x^{\ast \ast }$ 是 $V^{\ast }$ 上的线性函数

     2. 有限维时存在自然同构 $V\cong V^{\ast \ast }$

   • 核心思想：通过双线性形式 $⟨x,f⟩=f(x)$ 体现对称性
     

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二、对偶格

1. 基本定义
   Λ^={x∈span(Λ)∣⟨x,y⟩∈Z, ∀y∈Λ} \widehat{\Lambda} = \{ x \in \text{span}(\Lambda) \mid \langle x, y \rangle \in \mathbb{Z}, \ \forall y \in \Lambda \} Λ={x∈span(Λ)∣⟨x,y⟩∈Z, ∀y∈Λ}

2. 对偶基定理
   $$D=B(B^{T}B{)}^{-1}$$

3. 性质

   • Gram 矩阵关系：
     $$(B^{T}B{)}^{-1}=D^{T}D\text{(已验证正确)}$$
   • 行列式关系：
     $$\det (\hat{\Lambda })=\frac{1}{\det (\Lambda )}$$
   • 缩放定理：
     $$\widehat{(c\cdot \Lambda )}=\frac{1}{c}\cdot \hat{\Lambda }$$
   • 包含关系定理：
     $${\Lambda }_1\subseteq {\Lambda }_2⟺{\hat{\Lambda }}_1\supseteq {\hat{\Lambda }}_2(\text{当 }\text{span}({\Lambda }_1)=\text{span}({\Lambda }_2))$$
   • 密度关系：
     $${\Lambda }_1\subseteq {\Lambda }_2⟹{\hat{\Lambda }}_1\supseteq {\hat{\Lambda }}_2$$
     行列式解释：$\det ({\Lambda }_1)\le \det ({\Lambda }_2)⟹\det ({\hat{\Lambda }}_1)\ge \det ({\hat{\Lambda }}_2)$
   • 对称性：
     $$\hat{\hat{\Lambda }}=\Lambda$$
   • 对偶基等价条件：
     $$\text{span}(B)=\text{span}(D),并且B^{T}D=D^{T}B=I_n$$
   • $D^T\mathbf{l}\in {\mathbb{Z}}^n$对所有的$\mathbf{l}\in \Lambda$成立（因为${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}\cdot \mathbf{l}\in \mathbb{Z}$）
     证明:
     格 $\mathbf{\Lambda }$中的任意元素$\mathbf{l}$可表示为 基的整数线性组合：
     $$\mathbf{l}=B\mathbf{k},\mathbf{k}\in {\mathbb{Z}}^n$$
     （因为格是离散加法子群，基的整数组合生成格。）
     将 $\mathbf{l}=B\mathbf{k}$ 代入 $D^T\mathbf{l}$：
     $$D^T\mathbf{l}=D^T(B\mathbf{k})=\underset{\text{等于 }{I}_n}{\underbrace{(D^{T}B)}}\mathbf{k}=I_n\mathbf{k}=\mathbf{k}$$
     由于 $\mathbf{k}\in {\mathbb{Z}}^n$，因此 $D^T\mathbf{l}\in {\mathbb{Z}}^n$。

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三、整数格的特殊性质

1. 整数格定义
   $\Lambda \subseteq {\mathbb{Z}}^d$ 且是离散加法子群（不仅仅满足格的离散特性，并且格点坐标在原线性空间中的表示为整数）在之前的${\mathbb{R}}^n$的基础上加强了条件。

2. 对偶格坐标定理
   若 $\text{rank}(\Lambda )=d$，则：
   $$\boxed{\hat{\Lambda }\subseteq \frac{1}{\det (\Lambda )}{\mathbb{Z}}^d}$$
   含义：整数格的对偶格，坐标都是 分母不超过原格行列式的分数，放大行列式倍后全变成整数

3. 缩放不变性

   • 一般情况：
     $$\det (\Lambda {)}^2\cdot ({\mathbb{Z}}^d\cap \text{span}(\Lambda ))\subseteq \Lambda$$

   • 满秩特例：
     $$\det (\Lambda )\cdot {\mathbb{Z}}^d\subseteq \Lambda$$
     几何解释：缩放后的标准格仍被包含

     非满秩的格 “约束较弱”，需要把整数向量放大$\det (\Lambda )$的平方倍，才能确保结果落在$\Lambda$里。而满秩格的张成空间是整个${\mathbb{R}}^d$，结构更 “紧密”，对整数向量的缩放要求更低（不需要平方倍）就能确保落在格中

     

整数格（黑色–离散整数坐标）和一般格（红色–离散非整数坐标）

概念对比表

性质	对偶空间 $$V^{\ast }$$	对偶格 $$\hat{\Lambda }$$
定义域	任意域 $$P$$	$${\mathbb{R}}^n$$
元素	线性函数 $$f:V\to P$$	向量 $$x\in \text{span}(\Lambda )$$
关键条件	线性性	$$⟨x,y⟩\in \mathbb{Z}$$
对称性	$$V\cong V^{\ast \ast }$$	$$\hat{\hat{\Lambda }}=\Lambda$$
行列式关系	不适用	$$\det (\hat{\Lambda })=1/\det (\Lambda )$$
密度关系	不适用	原格密集 → 对偶格稀疏