傅里叶方法求解正方形区域拉普拉斯方程

题目

问题8. 使用傅里叶方法在正方形区域中求解以下问题的所有解：

$$\Delta u+5u=0,0<x<\pi ,0<y<\pi ,$$

$$u{|}_{y=0}=u{|}_{y=\pi }=0,$$

$$u{|}_{x=0}=u{|}_{x=\pi }=0.$$

解决问题

给定问题是一个齐次 Helmholtz 方程，在正方形区域 $$[0,\pi ]\times [0,\pi ]$$ 上，边界条件为齐次 Dirichlet 边界条件（即边界上函数值为零）。使用分离变量法（Fourier 方法的一种形式）求解。

步骤 1: 分离变量

设解为 $$u(x,y)=X(x)Y(y)$$。代入方程 $$\Delta u+5u=u_{xx}+u_{yy}+5u=0$$，得：
$$X^{\prime \prime }Y+X{Y}^{\prime \prime }+5XY=0.$$
除以 $$XY$$（假设 $$XY\ne 0$$）：
$$\frac{X^{\prime \prime }}{X}+\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}+5=0.$$
令 $$\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda$$，则：
$$\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}=-5+\lambda .$$

边界条件：

• $$u{|}_{x=0}=0$$ 和 $$u{|}_{x=\pi }=0$$ 给出 $$X(0)=0$$ 和 $$X(\pi )=0$$。
• $$u{|}_{y=0}=0$$ 和 $$u{|}_{y=\pi }=0$$ 给出 $$Y(0)=0$$ 和 $$Y(\pi )=0$$。

因此，得到两个常微分方程特征值问题：

1. $$X^{\prime \prime }+\lambda X=0$$，$$X(0)=0$$，$$X(\pi )=0$$。
2. $$Y^{\prime \prime }+(\lambda -5)Y=0$$，$$Y(0)=0$$，$$Y(\pi )=0$$。

步骤 2: 求解特征值问题

对于 $$X(x)$$：
方程 $$X^{\prime \prime }+\lambda X=0$$ 满足边界条件 $$X(0)=X(\pi )=0$$ 的特征值问题有解：

• 特征值：$${\lambda }_n=n^2$$，$$n=1,2,3,\dots$$
• 特征函数：$$X_n(x)=\sin (nx)$$.

对于 $$Y(y)$$：
方程 $$Y^{\prime \prime }+(\lambda -5)Y=0$$ 满足边界条件 $$Y(0)=Y(\pi )=0$$ 的特征值问题有解：

• 特征值：$${\mu }_m=m^2$$，$$m=1,2,3,\dots$$
• 特征函数：$$Y_m(y)=\sin (my)$$.

由于 $$u(x,y)=X(x)Y(y)$$，且特征值必须满足一致性条件，即 $$\lambda -5=\mu$$ 或 $$\mu =\lambda -5$$。代入特征值：
$${\lambda }_n-5={\mu }_m⟹n^2-5=m^2⟹n^2+m^2=5.$$

步骤 3: 求解正整数 $$n,m$$

求解方程 $$n^2+m^2=5$$，其中 $$n,m$$ 为正整数：

• $$n=1$$：$$1+m^2=5⟹m^2=4⟹m=2$$（取正值）。
• $$n=2$$：$$4+m^2=5⟹m^2=1⟹m=1$$。
• $$n=3$$：$$9+m^2=5⟹m^2=-4<0$$，无实数解。
• $$n\ge 3$$ 时 $$n^2>5$$，无解。
  类似地，检查 $$m$$ 值也仅得相同对。

因此，仅有两组解：$$(n,m)=(1,2)$$ 和 $$(n,m)=(2,1)$$.

步骤 4: 构造解

对应每组 $$(n,m)$$，得到基本解：

• 当 $$(n,m)=(1,2)$$：$$u_1(x,y)=\sin (x)\sin (2y)$$。
• 当 $$(n,m)=(2,1)$$：$$u_2(x,y)=\sin (2x)\sin (y)$$.

由于方程是线性的，通解是这些基本解的线性组合：
$$u(x,y)=A\sin (x)\sin (2y)+B\sin (2x)\sin (y),$$
其中 $$A$$ 和 $$B$$ 是任意常数。

验证解

• 满足方程：以 $$u_1=\sin x\sin 2y$$ 为例，
  $$u_{xx}=-\sin x\sin 2y,u_{yy}=-4\sin x\sin 2y,\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=-5\sin x\sin 2y,$$
  $$\Delta u+5u=-5\sin x\sin 2y+5\sin x\sin 2y=0.$$
  类似，$$u_2=\sin 2x\sin y$$ 也满足。
• 满足边界条件：
  • 当 $$y=0$$ 或 $$y=\pi$$，$$\sin y=0$$ 或 $$\sin 2y=0$$，故 $$u=0$$。
  • 当 $$x=0$$ 或 $$x=\pi$$，$$\sin x=0$$ 或 $$\sin 2x=0$$，故 $$u=0$$.

结论

所有解为：
$$\boxed{u(x,y)=A\sin (x)\sin (2y)+B\sin (2x)\sin (y)}$$
其中 $$A$$ 和 $$B$$ 为任意常数。