P1204 [USACO1.2] 挤牛奶Milking Cows

题目描述

三个农民每天清晨 $5$ 点起床，然后去牛棚给三头牛挤奶。

第一个农民在 $300$ 秒 (从 $5$ 点开始计时) 给他的牛挤奶，一直到 $1000$ 秒。第二个农民在 $700$ 秒开始，在 $1200$ 秒结束。第三个农民在 $1500$ 秒开始，$2100$ 秒结束。

期间最长的至少有一个农民在挤奶的连续时间为 $900$ 秒 (从 $300$ 秒到 $1200$ 秒)，而最长的无人挤奶的连续时间(从挤奶开始一直到挤奶结束)为 $300$ 秒 (从 $1200$ 秒到 $1500$ 秒)。

---

你的任务是编一个程序，读入一个有 $n$ 个农民挤 $n$ 头牛的工作时间列表，计算以下两点(均以秒为单位):

最长至少有一人在挤奶的时间段。

最长的无人挤奶的时间段。（从有人挤奶开始算起）

输入格式

第一行一个正整数 $n$

接下来 $n$ 行，每行两个非负整数 $l,r$，表示一个农民的开始时刻与结束时刻。

输出格式

一行，两个整数，即题目所要求的两个答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
300 1000
700 1200
1500 2100

输出 #1

900 300

说明/提示

【数据范围】 ：对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 5000$，$0\le l\le r\le 10^6$。

USACO Training Section 1.2

思路分析

✅ 题目本质：本题是一个典型的区间合并问题。

给出若干个时间段 $[l_i,r_i]$，表示每个农民在这段时间内挤奶。你的任务是从这些区间中：

1. 求出最长的“连续有人挤奶”的时间段长度

2. 求出最长的“连续没有人挤奶”的时间段长度

🌟 对所有区间按开始时间升序排序

合并区间时，你需要保证——当你扫描到第 $i$ 个区间时，所有开始时间 $\le$ 当前区间开始时间 的区间都已经被处理过。

只有这样才能正确判断“是否重叠”以及“该怎么更新右端点”。

这个条件恰好由「按开始时间升序」保证，而「按结束时间升序」无法保证。

结束时间从小到大排序的反例：

农民	区间
A	(1, 10)
B	(2, 5)
C	(12, 15)

按结束时间排序 → (B 2‑5), (A 1‑10), (C 12‑15)

处理 B (2‑5)，当前合并段 = [2, 5]

遇到 A (1‑10)

start=1 小于 当前合并段的 end=5，程序会认为可以“合并”，并更新 end = max(5, 10) = 10

合并段变成 [2, 10]，把 1 到 2 这段空闲错过了！最终：得到最长有人挤奶 2‑10，真正答案应该是 1‑10

排序顺序把起点 $1$ 的区间放到后面来处理，导致漏算。

🌟 线性扫描这些排好序的区间，维护一个当前合并段 [be, ed]

将下一个区间加入当前合并段：

• 如果下一个区间的起点在当前合并段的末尾之后（start > ed）

  • 当前合并段结束了，更新最大有人时间；

  • 这两个区间之间是空隙，更新最大无人时间；

  • 用新的区间重启合并段 [be, ed] = [start, end]

• 否则（存在重叠或相接）

  • 将当前合并段的右端点更新为 ed = max(ed, end)，继续扩展合并段

🌟 扫描结束后再处理一次最后的合并段

最后一个合并段可能是最长的，不能遗漏

🌟 记录两个值

• mx1：所有合并段中最长的挤奶时间

• mx2：合并段之间最长的无人时间

🧩 第一步：读入并排序

for(int i = 1; i <= n; i++) {cin >> x >> y;p[i] = make_pair(x, y);
}
sort(p + 1, p + 1 + n);

• 读取每个农民的挤奶时间区间 [x, y]

• 使用 pair<int, int> 存入数组 p[i]

• 调用 sort() 按 start 升序排序区间

✅ 第二步：初始化第一个区间为当前合并段

int be = p[1].first;      // 当前合并段起点
int ed = p[1].second;     // 当前合并段终点
int mx1 = ed - be;        // 当前最长有人时间段长度
int mx2 = 0;              // 当前最长无人时间段长度（初始为0）

• 将排序后的第一个时间区间作为当前的合并区间的起点和终点；
• 初始化最长有人挤奶时间段 mx1 为第一个区间的长度；
• 初始化最长无人时间段 mx2 为 $0$，表示当前还没有无人段。

✅ 第三步：扫描剩余区间并尝试合并

for(int i = 2; i <= n; i++) 
{if(p[i].first > ed) {// 区间不重叠，出现无人时间段mx1 = max(mx1, ed - be);              // 更新最长有人时间段mx2 = max(mx2, p[i].first - ed);      // 更新最长无人时间段be = p[i].first;                      // 启动新的合并段起点ed = p[i].second;                     // 启动新的合并段终点} else {// 区间重叠或相接，合并区间ed = max(ed, p[i].second);            // 更新合并段终点}
}

• 从第二个区间开始，逐个遍历剩余时间段；
• 判断当前区间是否与已有合并段重叠或相接：
  • 不重叠（当前区间的开始时间 > 合并段结束时间）：
    • 说明出现了无人时间段，先更新最长有人时间段 mx1；
    • 更新最长无人时间段 mx2（当前区间起点减去合并段终点）；
    • 重置合并段为当前区间；
  • 重叠或相接：
    • 合并当前区间，更新合并段终点为更大的结束时间。

✅ 第四步：处理最后一个合并段

mx1 = max(mx1, ed - be);

• 遍历完所有区间后，最后一个合并段可能是最长的有人时间段；
• 因此需要用 mx1 = max(mx1, ed - be) 再次更新最长有人时间段。

✅ 第五步：输出结果

cout << mx1 << " " << mx2 << endl;

• mx1：最长连续有人挤奶的时间段长度；
• mx2：最长连续无人挤奶的时间段长度。

完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e3 + 9;pair<int, int> p[maxn];int main()
{int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){int x, y; // 开始时间 结束时间cin >> x >> y;p[i] = make_pair(x, y);}sort(p + 1, p + 1 + n); // 开始时间从小到大排序int mx1 = p[1].second - p[1].first, mx2 = 0, ed = p[1].second, be = p[1].first;for (int i = 2; i <= n; i++){if (p[i].first > ed){mx1 = max(mx1, ed - be);be = p[i].first;                 // 最新的开始时间mx2 = max(mx2, p[i].first - ed); // 当前的开始时间 减去 上一次的结束时间ed = p[i].second;}else{ed = max(ed, p[i].second);}}mx1 = max(mx1, ed - be); // 一直连续cout << mx1 << " " << mx2 << endl;return 0;
}