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【前缀和 BFS 并集查找】P3127 [USACO15OPEN] Trapped in the Haybales G|省选-

news 2025/7/11 5:36:24

本文涉及知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频
C++DFS
C++并集查找

P3127 [USACO15OPEN] Trapped in the Haybales G

题目描述

Farmer John 收到了一批 $N$ 个大型干草捆（ $\le N \le 100,000$ ），并将它们放置在他通往谷仓的道路上的不同位置。不幸的是，他完全忘记了奶牛 Bessie 正在这条路上吃草，她现在可能被困在这些干草捆之间了！每个干草捆 $j$ 有一个大小 $S_j$ 和一个位置 $P_j$ ，表示它在这条一维道路上的位置。Bessie 可以在道路上自由移动，甚至可以移动到干草捆所在的位置，但她无法穿过这个位置。唯一的例外是，如果她朝同一方向连续移动 $D$ 单位的距离，她将获得足够的速度，能够突破并永久消除任何大小严格小于 $D$ 的干草捆。当然，在突破之后，她可能会打开更多的空间，从而有机会突破其他干草捆，并继续消除它们。

如果 Bessie 最终能够突破最左侧或最右侧的干草捆，她就可以成功逃脱。请计算道路中所有无法逃脱的实数起始位置的总面积。

输入格式

输入的第一行包含 $N$ 。接下来的 $N$ 行描述每个干草捆，每行包含两个整数，分别表示干草捆的大小和位置，范围均为 $\ldots 10^9$ 。所有位置均不相同。

输出格式

输出一个整数，表示 Bessie 无法逃脱的道路总面积。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

BFS（ $错误$ ）

性质一：n堆干草，将整个道路分成n-1区间。任何区间，只要有一个点能够突破所有干草堆，则整个区间能突破所有干草堆。以向右突破为例，本区间所有点先向左到左端点后，再向右。
$0≤i≤N−20\leq i \le N-2$ r[i]记录到达第i堆干草至少已经向右r[i]，才能向右突破所有草堆。
r[i] =max(r[i+1]-此区间长度,s[i]-此区间长度)
如果r[i]<0，可以做起点。
类似：left[i]记录到达第i+1堆干草，至少已经向左left[i]，才能向左突破所有草堆。
如果区间left[i]<0或r[i]<0，则称此区间能够直接突破。如果没有区间能直接突破，则所有区间不能突破。
性质二：区间一和区间二相邻，如果区间一为起点能够到达区间二，则区间二能够突破所有干草，则区间一也能。即一个连通区域只要有一个点能突破，则连通区域所有点都能突破。注意：相邻是有向的。
实现：边反向后，以直接突破的区间为起点，BFS。
错误原因：存在以下情况： $区间一→区间二→区间三区间一\rightarrow 区间二 \rightarrow 区间三$ ，但区间二无法到达区间三。
暴力解法：枚举所有边而不是相邻边。时间复杂度：O(nn) 时间超限。

BFS+虚拟节点+前缀和（错误)

根据上述分析，我们可以得出如下结论。
性质一：一个区间可以缩成一个点，共n-1个点，增加一个虚拟节点n-1，共n个节点。
性质二：所有能直接突破的区间对应的点连向n-1。
如果是BFS，不需要虚拟节点。

增加区间间的边

以向右的边( $i < j < k$ )为例。从i能够到达k，且不能到达k+1。向左的边类似。
性质三：如果j能够到达k，则只需要 $\rightarrow j \rightarrow k$ ,无需 $\rightarrow k$
性质四：如果i不能到达j，则i也无法到达k。
小结一：如果 $\rightarrow k$ ,则除j外，不需要任意其它边连向k。
性质五：如果i不能到达 $k + 1$ ，则一定不能到达 $k + 2$ 。
栈sta记录所有 $∀j\forall j$ 都不能到达的k，从栈底到栈顶降序。当i能到达栈顶，连边出栈。
判断i能否到达栈顶：
区间i到栈顶的距离是否大于栈顶S。
错误原因：
在这里插入图片描述
区间一无法到达区间二，区间二无法直接到达区间三，但 $\rightarrow 区间1 \rightarrow 区间3$ 却成立。
因为干草堆是永远消失。

错误代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class Solution {public:long long Ans(vector<pair<int, int>>& sp) {			const int N = sp.size();sort(sp.begin(), sp.end(), [&](const auto& p1, const auto& p2) {return p1.second < p2.second; });vector<long long >left(N ), r(N ),vLen(N);for (int i = N - 2; i >= 0; i--) {vLen[i] = sp[i + 1].second - sp[i].second;r[i] = max((long long)sp[i + 1].first, r[i + 1] ) - vLen[i];}vector<long long> preSum = { 0 };for (const auto& i : vLen) {preSum.emplace_back(preSum.back() + i);}long long ans = 0;queue<int> que;vector<bool> vis(N - 1);auto Add = [&](int cur) {if (vis[cur]) { return; }vis[cur] = true;que.emplace(cur);ans -= vLen[cur];};for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {	if (0 == i) {left[i] = sp[i].first - vLen[i];}else {left[i] = max( (long long)sp[i].first,left[i-1]) - vLen[i];}if ((left[i] < 0) || (r[i] < 0)) { Add(i); }}vector<vector<int>> neiBoBack(N - 1);				{//处理向右的边stack<int> sta;for (int i = N - 2; i >= 0; i--) {while (sta.size()&&( preSum[sta.top()]- preSum[i] > sp[sta.top()].first)){neiBoBack[sta.top()].emplace_back(i);sta.pop();}sta.emplace(i);}}{//处理向左的边stack<int> sta;for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {while(sta.size()&&(preSum[i+1]-preSum[sta.top()+1] > sp[sta.top()+1].first)){neiBoBack[sta.top()].emplace_back(i);sta.pop();}sta.emplace(i);}}while (que.size()) {const auto cur = que.front(); que.pop();for (const auto&next : neiBoBack[cur]) {Add(next);}}return ans+ preSum.back();}};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUGios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);auto sp = Read<pair<int, int>>();	
#ifdef _DEBUG//printf("N=%d", N);Out(sp, ",sp=");//Out(que, ",=que");
#endif // DEBUGauto res = Solution().Ans(sp);cout << res << "\n";return 0;
}

并集查找

令某区间i，不转向向左能到left，向右能到r。此时left到r之间的干草堆已经被消除，故可以看成一个大区间。
[left,r]不转向最左能够到达left1，最右能够到达r1。如果 $l e f t == l e f t 1 且 r == r 1$ 则迭代结束。
否则 $l e f t = l e f t 1, r = r 1$ 继续迭代。
如果最终 $l e f t < 0 或 r > N - 2$ 则区间i能够突破所有。
性质一：如果i不能突破，则[i,r]都不能突破。区间i到达区间k $速度≥0速度\ge0$ ,从区间k出发速度0。
性质二：同理i能到达j，j能到达的区间，则i也能到达。left[j]记录j能到达的最左点，如果i能到达j，则能到达left[j] ,left[left[j]]，我们用并集查找记录。

超时代码

	class Solution {public:long long Ans(vector<pair<int, int>>& sp) {const int N = sp.size();sort(sp.begin(), sp.end(), [&](const auto& p1, const auto& p2) {return p1.second < p2.second; });vector<long long > vLen(N);for (int i = N - 2; i >= 0; i--) {vLen[i] = sp[i + 1].second - sp[i].second;}vector<long long> preSum = { 0 };for (const auto& i : vLen) {preSum.emplace_back(preSum.back() + i);}CUnionFindDirect uf(N);bool b = false;auto Check = [&](int x) {int left = x, r = x + 1;while (left >= 0){const long long len = preSum[r] - preSum[left];if (len > sp[left].first) {//可以向左if (0 == left) { break; }left = uf.GetMaxDest(left - 1);if (left == N - 1) { break; }}else if (len > sp[r].first) {//可以向右r++;if (r == N) { break; }}else {uf.Connect(b, b, x, left);return false;}}uf.Connect(b, b, x, N - 1);return true;};long long ans = 0;for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {Check(i);if (N - 1 != uf.GetMaxDest(i)) {ans += vLen[i];}}return ans;}};

解决方法

如果区间i无法突破，则[i+1…r]都无法突破，flag[i+1…r]= true，如果flag[i]之间 ans += vLen[i]并忽略。
除r++ 外的时间复杂度接近:O $(N)$
r++的时间复杂度估计时:O(N)

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class CUnionFindDirect
{
public:CUnionFindDirect(int iSize){m_vRoot.resize(iSize);iota(m_vRoot.begin(), m_vRoot.end(), 0);}void Connect(bool& bConflic, bool& bCyc, int iFrom, int iTo){bConflic = bCyc = false;if (iFrom != m_vRoot[iFrom]){bConflic = true;}Fresh(iTo);if (m_vRoot[iTo] == iFrom){bCyc = true;}if (bConflic || bCyc){return;}m_vRoot[iFrom] = m_vRoot[iTo];}int GetMaxDest(int iFrom){Fresh(iFrom);return m_vRoot[iFrom];}
private:int Fresh(int iNode){if (m_vRoot[iNode] == iNode){return iNode;}return m_vRoot[iNode] = Fresh(m_vRoot[iNode]);}vector<int> m_vRoot;
};
class Solution {
public:long long Ans(vector<pair<int, int>>& sp) {const int N = sp.size();sort(sp.begin(), sp.end(), [&](const auto& p1, const auto& p2) {return p1.second < p2.second; });vector<long long > vLen(N);for (int i = N - 2; i >= 0; i--) {vLen[i] = sp[i + 1].second - sp[i].second;}vector<long long> preSum = { 0 };for (const auto& i : vLen) {preSum.emplace_back(preSum.back() + i);}CUnionFindDirect uf(N);bool b = false;vector<bool> flag(N);auto Check = [&](int x) {int left = x, r = x + 1;while (left >= 0){const long long len = preSum[r] - preSum[left];if (len > sp[left].first) {//可以向左if (0 == left) { break; }left = uf.GetMaxDest(left - 1);if (left == N - 1) { break; }}else if (len > sp[r].first) {//可以向右r++;if (r == N) { break; }}else {for (; x < r; x++){uf.Connect(b, b, x, left);flag[x] = true;}return false;}}uf.Connect(b, b, x, N - 1);return true;};long long ans = 0;for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {if (flag[i]) {ans += vLen[i];continue;}Check(i);if (N - 1 != uf.GetMaxDest(i)) {ans += vLen[i];}}return ans;}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUGios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);auto sp = Read<pair<int, int>>();
#ifdef _DEBUG//printf("N=%d", N);Out(sp, ",sp=");//Out(que, ",=que");
#endif // DEBUGauto res = Solution().Ans(sp);cout << res << "\n";return 0;
}

单元测试

vector<pair<int, int>> sp;TEST_METHOD(TestMethod11){sp = { {8,1},{1,4},{8,8},{7,15},{4,20} };auto res = Solution().Ans(sp);AssertEx(14LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){sp = { {1000,1},{4,101},{3,103 },{1,105} };//区间长度100,[1000,4] 2 [4,3] 2[3,1]auto res = Solution().Ans(sp);AssertEx(2LL, res);}

疑问

感觉下面代码有问题：

for (; x < r; x++){uf.Connect(b, b, x, left);flag[x] = true;}

改成这样也能通过，且容易理解。

  uf.Connect(b, b, x, left);for (; x < r; x++){						flag[x] = true;}

扩展阅读

我想对大家说的话
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有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适）专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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失败+反思=成功成功+反思=成功