实变函数 第五章 勒贝格积分(三)

5.4 黎曼积分与勒贝格积分

5.4.0 达布积分

$\text{Definition}$ $\text{Darboux}$ 积分

设有界函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$，区间分划
$$P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$$
记
Mi:=sup⁡{f(x):x∈[xi−1,xi]}mi:=inf⁡{f(x):x∈[xi−1,xi]}Δxi:=xi−xi−1M_i:=\sup\{f(x):x\in [x_{i-1},x_i]\} \\m_i:=\inf\{f(x):x\in [x_{i-1},x_i]\} \\\Delta x_i:=x_i-x_{i-1} Mi​:=sup{f(x):x∈[xi−1​,xi​]}mi​:=inf{f(x):x∈[xi−1​,xi​]}Δxi​:=xi​−xi−1​
则分别称
$$\begin{gathered} \overline{S}(P):=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot \Delta x_i \\ \underline{S}(P):=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot \Delta x_i \end{gathered}$$
为 达布上、下和. 分别称
I∗:=inf⁡{S‾(P)}=∫ab‾f(x)dxI∗:=sup⁡{S‾(P)}=∫ab‾f(x)dxI^*:=\inf\{\overline{S}(P)\}=\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x \\I_*:=\sup\{\underline{S}(P)\}=\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x I∗:=inf{S(P)}=∫ab​​f(x)dxI∗​:=sup{S​(P)}=∫ab​​f(x)dx
为 达布上、下积分. 若
$$I^{\ast }=I_{\ast }$$
则称 $f$ 达布可积.

5.4.1 黎曼积分

$\text{Definition}$ $\text{Riemann}$ 积分

记
$$||P||:=\underset{1⩽i⩽n}{\max }\Delta x_i$$
任取 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，称
$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
为 黎曼和，当极限
$$\underset{||P||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
存在，则称其极限值为 黎曼积分 (定积分) ，记作
$$I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

$\text{Definition}$ 振幅

1. 区间的振幅
   $$\omega (I)=\underset{x\in I}{\sup }f(x)-\underset{x\in I}{\inf }f(x)$$
2. 一点处的振幅
   $$\begin{array}{rl}& \\ \omega (x)& =\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\omega (U(x,\delta ))\\ & =\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }|\underset{x\in U(x,\delta )}{\sup }f(x)-\underset{x\in U(x,\delta )}{\inf }f(x)|\\ & =\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\underset{x_1{x}_2\in U(x,\delta )}{\sup }|f(x_1)-f(x_2)|\end{array}$$
   ω(x)=0⇔f∈C{x}\omega(x)=0\Leftrightarrow f\in C\{x\}ω(x)=0⇔f∈C{x}
   $${\int }_{[a,b]}\omega (x)\mathrm{d}x=\overline{{\int }_a^b}f(x)\mathrm{d}x-\underline{{\int }_a^b}f(x)\mathrm{d}x$$

$\text{Theorem}$ $\text{Riemann}$ 可积条件

• 充要条件
  $$\begin{array}{rl}f\in R[a,b]& \iff \forall ||P||:\underset{||P||\to 0}{\lim }\overline{S}(P)=\underset{||P||\to 0}{\lim }\underline{S}(P)\\ & \iff \forall ||P||:\underset{||P||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i=0\\ & \iff \forall \epsilon >0,\exists ||P||,s.t.\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon \end{array}$$

• 充分条件：

1. 闭区间的连续函数必然黎曼可积；
2. 闭区间上单调函数必然黎曼可积；
3. 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必然黎曼可积. 即所有不连续点组成的集合测度为零.
   
   

• 必要条件：
  若 $f\in R[a,b]$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 有界.

5.4.2 黎曼积分与勒贝格积分关系

$\text{Theorem}$

设有界函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$

1. $f\in R[a,b]\iff f$ 在 $[a,b]$ 上 $a.e.$ 连续，即 $f$ 在 $[a,b]$ 上不连续点集为零测集.
   
   
2. $f\in R[a,b]\Rightarrow f\in L[a,b]$，且积分值相同，即
   $${\int }_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

设非负实函数 $f:[a,+\infty )\to {\mathbb{R}}^{+}$，

1. 若 $\forall A>a:f\in R[a,A]$，且 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $f\in L[a,+\infty )$，且
   $${\int }_{[a,+\infty )}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$$
2. 若 $\forall A>a:f\in R[a,A]$，且 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 $f\in L[a,+\infty )$，且
   $${\int }_{[a,+\infty )}f(x)\mathrm{d}x=+\infty$$

$\text{Proof:}$

5.4.3 广义积分

$\text{Definition}$ 常义积分、广义积分(反常积分)
若积分区间 $[a,b]$ 有限，被积函数 $f(x)$ 有界，则称定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 为常义积分.

若积分区间无限称为无限积分，被积函数无界称为瑕积分，二者统称为广义积分.

5.5 重积分与累次积分

5.5.1 富比尼-托内利定理

$\text{Theorem}$ $\text{Fubini-Tonelli}$ 定理

设 $f(x,y)\in L({\mathbb{R}}^{p+q}),(x,y)\in {\mathbb{R}}^{p+q}={\mathbb{R}}^p\times {\mathbb{R}}^q$，则
1.
$$\begin{gathered} a.e.x\in {\mathbb{R}}^p:f_x(y)\in L({\mathbb{R}}^q) \\ a.e.y\in {\mathbb{R}}^q:f_y(x)\in L({\mathbb{R}}^p) \end{gathered}$$
2.
$$\begin{gathered} F(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^q}f(x,y)\mathrm{d}y\in L({\mathbb{R}}^p) \\ F(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^p}f(x,y)\mathrm{d}x\in L({\mathbb{R}}^q) \end{gathered}$$
3.
$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^{p+q}}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_{{\mathbb{R}}^p}\mathrm{d}x{\int }_{{\mathbb{R}}^q}f(x,y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^q}\mathrm{d}y{\int }_{{\mathbb{R}}^p}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$

5.6 定理关系

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实变函数 第一章 集合论
实变函数 第二章 点集拓扑
实变函数 第三章 测度论
实变函数 第四章 可测函数
实变函数 第五章 勒贝格积分（一）
实变函数 第五章 勒贝格积分（二）
实变函数 第五章 勒贝格积分（三）