PI 控制器与 PR 控制器的等效转换与应用详解

PI 控制器（Proportional-Integral Controller）和 PR 控制器（Proportional-Resonant Controller）在控制系统中常用于不同的参考信号类型：

• PI 控制器：擅长处理直流（DC）参考信号，频域上在零频点（$s=0$）具有无穷增益。
• PR 控制器：擅长处理正弦（AC）参考信号，频域上在某一指定频率（如工频 ${\omega }_0$）点具有无穷增益。

一、PI 控制器的结构（s 域）

$$G_{PI}(s)=K_p+\frac{K_i}{s}$$

其中 $K_p$ 是比例增益，$K_i$ 是积分增益。

二、PR 控制器的结构（s 域）

$$G_{PR}(s)=K_p+\frac{K_{r}s}{s^2+{\omega }_0^2}$$

其中 $K_p$ 是比例增益，$K_r$ 是共振增益，${\omega }_0$ 是目标频率（如 $2\pi \times 50$ rad/s）。

该结构在频率 $\omega ={\omega }_0$ 处增益趋于无穷，用于跟踪或抑制交流正弦信号。

三、从 PI 到 PR 的数学映射关系

1. s 域中的结构替换

将 PI 控制器中的积分环节 $\frac{1}{s}$ 替换为 PR 控制器中的谐振环节：

$$\frac{1}{s}\to \frac{s}{s^2+{\omega }_0^2}$$

于是：

$$G_{PI}(s)=K_p+\frac{K_i}{s}\Rightarrow G_{PR}(s)=K_p+K_i\cdot \frac{s}{s^2+{\omega }_0^2}$$

所以，PI 控制器转换为 PR 控制器时的参数对应关系为：

• $K_p^{PR}=K_p^{PI}$
• $K_r^{PR}=K_i^{PI}$

四、时域实现方式对比（在 $\alpha \beta$ 静止坐标系中）

控制器类型	增益结构	控制目标	应用场景
PI 控制器	$K_p+\frac{K_i}{s}$	DC 跟踪	$dq$ 坐标系下的电流/电压控制
PR 控制器	$K_p+\frac{K_{r}s}{s^2+{\omega }_0^2}$	AC 跟踪	$\alpha \beta$ 坐标系下的电流/电压控制

• PI 控制器多用于旋转坐标系（$dq$），跟踪直流参考值。
• PR 控制器适用于静止坐标系（$\alpha \beta$），跟踪正弦交流参考值，无需坐标变换。

五、具体示例

假设已知：

• $K_p=0.5$
• $K_i=100$
• 工频 $f=50$ Hz

则 ${\omega }_0=2\pi \cdot 50=314.16$ rad/s，对应的 PR 控制器为：

$$G_{PR}(s)=0.5+\frac{100\cdot s}{s^2+314.16^2}$$

六、实际实现中的注意事项

1. 理想 PR 控制器在 ${\omega }_0$ 频点增益趋于无穷，在数字系统中容易放大噪声。故常加入阻尼项 $ϵ$：

   $$\frac{s}{s^2+2ϵs+{\omega }_0^2}$$

   实际应用中可取 $ϵ\in [1,10]$。

2. 多频控制需求时，可级联多个 PR 控制器，如工频、3次谐波等：

   $$G_{PR}(s)=K_p+\sum _n\frac{K_{r,n}s}{s^2+{\omega }_n^2}$$

七、总结

PI 控制器与 PR 控制器之间可以通过简单的结构映射实现转换：

• 将 $\frac{1}{s}$ 替换为 $\frac{s}{s^2+{\omega }_0^2}$
• 将 $K_i$ 赋值为 $K_r$，$K_p$ 保持不变

这使得控制器在不同参考信号下都能实现精准跟踪。PI 控制适合 $dq$ 坐标系的 DC 控制场景，PR 控制器更适合 $\alpha \beta$ 坐标系的 AC 控制场景，如构网型逆变器、并网电流控制等。

clc; clear; close all;% 控制器参数
Kp = 0.5;       % 比例增益
Ki = 100;       % 积分增益
Kr = Ki;        % 共振增益（与 Ki 等价）
f0 = 50;        % 共振频率 (Hz)
w0 = 2*pi*f0;   % 共振频率 (rad/s)
epsilon = 5;    % 阻尼项，可设为 1~10 之间的值% Laplace 变量
s = tf('s');% 构建控制器
G_PI = Kp + Ki/s;
G_PR = Kp + Kr * s / (s^2 + w0^2);
G_PR_damped = Kp + Kr * s / (s^2 + 2*epsilon*s + w0^2); % 加阻尼版本% 绘制 Bode 图
figure;
bode(G_PI, 'b', G_PR, 'r--', G_PR_damped, 'g-.', {1e-5, 1e4}); grid on;
legend('PI 控制器', 'PR 控制器（理想）', 'PR 控制器（带阻尼）', 'Location', 'SouthWest');
title('PI 与 PR 控制器的频率响应比较');

✅ Bode 图中两者差异及等价点解释

1. PI 控制器的频率响应特点：

• 幅频响应中，在低频段（特别是靠近 s = 0）增益极高；
• 高频部分趋于 K_p，因为 K_i / s 会趋近于零；
• 相位从 0°（高频）过渡到 -90°（低频）。

2. PR 控制器的频率响应特点：

• 在 ω = ω₀ 处（比如 314.16 rad/s，即 50 Hz）出现“共振尖峰”，增益趋近于无穷（理想情况下）；
• 类似于积分器对 DC 提供无穷增益，这个结构对 正弦信号提供“无稳态误差”；
• 相位在共振点附近剧烈变化。

✅ 图中如何判断“等价”

运行 Bode 图代码后，会看到三条曲线：

控制器类型	特征
蓝色 - PI	在 低频段（接近 0Hz） 增益很高
红色 - PR 理想	在 目标频率（50Hz 附近） 出现一个尖峰共振
绿色 - PR 阻尼	同上，但共振不再趋于无穷，而是一个高而有限的峰值

那么如何从图中看到“等价”？

• 虽然 PI 和 PR 在频域上的形状不同，但它们都在各自目标频率点提供高增益；
• 对于 PI，是对 0Hz 的“无限增益”，确保能消除 DC 跟踪误差；
• 对于 PR，是对 ω₀ 的“无限增益”，确保能消除交流信号（比如 50Hz）跟踪误差；
• 因此，可以认为 PR 是“频率偏移”后的 PI —— 把“无限增益”从 0Hz 移动到了某个交流频率；
• 它们控制目标不同，但结构功能是等价的。

✅ 等价核心理解

项目	PI 控制器	PR 控制器
提供无稳态误差频率	DC（0 Hz）	AC（例如 50 Hz）
积分作用	Ki / s	(K_r s) / (s² + ω₀²)
数学映射	K_r = K_i （等效功能）	K_r = K_i
控制目标	恒值参考跟踪（如直流电流）	正弦参考跟踪（如并网电流）

✅ 图像举例说明

例如你运行 Bode 图后看到：

• 蓝线（PI）在低频处高耸，说明它“专注于”直流控制；
• 红线或绿线（PR）在 314 rad/s 处高耸，说明它“专注于”交流控制（50Hz）；
• 它们都能使系统在各自目标频率处获得高增益，实现稳态误差为零的控制目标，这就是它们的“等价性”。