高等数学》（同济大学·第7版）第七章 微分方程 第五节可降阶的高阶微分方程
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同学们好！今天我们学习《高等数学》第七章第五节“可降阶的高阶微分方程”。高阶微分方程（如二阶、三阶）直接求解困难，但许多方程可以通过“降阶”转化为低阶方程（如一阶方程）来求解。本节重点讲解三类可降阶的高阶微分方程，掌握它们的解法对后续学习至关重要。我会用最通俗的语言，结合大量例子，帮你彻底掌握。
一、可降阶高阶微分方程的分类
高阶微分方程的“可降阶”是指通过变量替换，将其转化为低阶方程（通常是一阶方程）。常见的三类可降阶方程如下：
| 类型 | 标准形式 | 特点 | 降阶关键 |
|---|---|---|---|
| 第一类 | y^(n) = f(x) | 不显含 y, y’, …, y^(n-1) | 逐次积分降阶 |
| 第二类 | y’’ = f(x, y’) | 不显含 y | 令 p = y’，转化为一阶方程 |
| 第三类 | y’’ = f(y, y’) | 不显含 x | 令 p = y’，结合链式法则转化 |
二、第一类：y^(n) = f(x)（不显含低阶项）
1. 定义与特点
方程中最高阶导数 y^(n) 仅与自变量 x 有关，不含 y 或其低阶导数（如 y’, y’’ 等）。例如：
- y’’ = e^x（二阶，不显含 y, y’）；
- y’‘’ = sin x（三阶，不显含 y, y’, y’'）。
2. 解法：逐次积分降阶
由于方程右边仅含 x，可以通过逐次积分降低阶数，每次积分引入一个积分常数。最终得到的通解包含 n 个任意常数（与阶数 n 一致）。
步骤示例（以二阶方程 y’’ = f(x) 为例）：
-
第一次积分：对 y’’ = f(x) 两边积分，得到一阶导数：
y’ = ∫ f(x) dx + C₁
（C₁ 是第一个积分常数）。 -
第二次积分：对 y’ 再次积分，得到原函数 y：
y = ∫ ( ∫ f(x) dx + C₁ ) dx + C₂
（C₂ 是第二个积分常数）。
3. 典型例题
例1：解方程 y’’ = e^x（二阶）。
解：
- 第一次积分：y’ = ∫ e^x dx + C₁ = e^x + C₁。
- 第二次积分：y = ∫ (e^x + C₁) dx + C₂ = e^x + C₁ x + C₂。
- 通解：y = e^x + C₁ x + C₂（C₁, C₂ 为任意常数）。
例2：解方程 y’‘’ = sin x（三阶）。
解：
- 第一次积分：y’’ = ∫ sin x dx + C₁ = -cos x + C₁。
- 第二次积分：y’ = ∫ (-cos x + C₁) dx + C₂ = -sin x + C₁ x + C₂。
- 第三次积分：y = ∫ (-sin x + C₁ x + C₂) dx + C₃ = cos x + (1/2)C₁ x² + C₂ x + C₃。
- 通解：y = cos x + C₁ x² + C₂ x + C₃（C₁, C₂, C₃ 为任意常数）。
三、第二类：y’’ = f(x, y’)（不显含 y）
1. 定义与特点
方程中最高阶导数 y’’ 仅与 x 和一阶导数 y’ 有关，不含 y 本身。例如：
- y’’ = x + y’（二阶，不显含 y）；
- y’’ = ln x · y’（二阶，不显含 y）。
2. 解法：令 p = y’，转化为一阶方程
由于方程不显含 y，可以令 p = y’（即 p = dy/dx），则二阶导数 y’’ = dp/dx。原方程转化为关于 p 和 x 的一阶微分方程：
dp/dx = f(x, p)
解出 p 后，再通过 p = dy/dx 积分得到 y。
步骤示例（以 y’’ = x + y’ 为例）：
-
变量替换：令 p = y’，则 y’’ = dp/dx，原方程变为：
dp/dx = x + p -
解一阶方程：整理为 dp/dx - p = x（一阶线性非齐次方程），用通解公式：
p = exp(∫ 1 dx) ( ∫ x exp(-∫ 1 dx) dx + C₁ ) = e^x ( ∫ x e^{-x} dx + C₁ )
计算积分 ∫ x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C，因此：
p = e^x ( -x e^{-x} - e^{-x} + C₁ ) = -x - 1 + C₁ e^x -
积分求 y：由 p = y’，得：
y = ∫ (-x - 1 + C₁ e^x) dx + C₂ = - (1/2)x² - x + C₁ e^x + C₂
- 通解：y = - (1/2)x² - x + C₁ e^x + C₂（C₁, C₂ 为任意常数）。
3. 典型例题
例3：解方程 y’’ = 2x + y’（二阶）。
解：
- 令 p = y’，则 y’’ = dp/dx，方程变为 dp/dx = 2x + p。
- 整理为 dp/dx - p = 2x（一阶线性方程），通解：
p = exp(∫ 1 dx) ( ∫ 2x exp(-∫ 1 dx) dx + C₁ ) = e^x ( ∫ 2x e^{-x} dx + C₁ )
计算积分 ∫ 2x e^{-x} dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C，因此：
p = e^x ( -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C₁ ) = -2x - 2 + C₁ e^x - 积分求 y：
y = ∫ (-2x - 2 + C₁ e^x) dx + C₂ = -x² - 2x + C₁ e^x + C₂
四、第三类：y’’ = f(y, y’)（不显含 x）
1. 定义与特点
方程中最高阶导数 y’’ 仅与 y 和一阶导数 y’ 有关，不含自变量 x。例如：
- y’’ = y² + y’（二阶，不显含 x）；
- y’’ = sin y · y’（二阶，不显含 x）。
2. 解法：令 p = y’，结合链式法则转化
由于方程不显含 x，可以令 p = y’（即 p = dy/dx），并利用链式法则将 y’’ 表示为 p dp/dy（因为 dp/dx = dp/dy · dy/dx = p dp/dy）。原方程转化为关于 p 和 y 的一阶方程：
p dp/dy = f(y, p)
解出 p 后，再通过 p = dy/dx 分离变量积分得到 y。
3. 典型例题
例4：解方程 y’’ = y² + y’（二阶，不显含 x）。
解：
- 令 p = y’，则 y’’ = p dp/dy，原方程变为：
p dp/dy = y² + p - 整理为 p dp/dy - p = y²，即 p ( dp/dy - 1 ) = y²。
- （注：解此方程需要特殊技巧或数值方法，本科阶段通常掌握可分离变量的简单情况）
五、关键注意事项
1. 积分常数的个数
高阶方程的通解中，积分常数的个数等于方程的阶数。例如，二阶方程的通解有2个常数，三阶方程有3个常数。
2. 变量替换的正确性
- 第一类方程逐次积分时，每次积分都要正确计算原函数；
- 第二类和第三类方程的变量替换（p = y’）需确保链式法则的正确应用（尤其是第三类方程中 dp/dx = p dp/dy）。
3. 特殊情况的处理
- 当方程中出现 y = 0 或 p = 0 时，可能是特解，需单独验证；
- 积分过程中若遇到无法分离变量的情况，可能需要使用特殊函数，但本科阶段通常只需掌握可积的简单情况。
六、本节重点总结
- 可降阶高阶微分方程的定义：通过变量替换可转化为一阶方程的高阶方程。
- 三类可降阶方程的解法：
- 第一类 y^(n) = f(x)：逐次积分降阶；
- 第二类 y’’ = f(x, y’)：令 p = y’，转化为一阶方程；
- 第三类 y’’ = f(y, y’)：令 p = y’，结合链式法则转化为一阶方程。
- 关键步骤：变量替换 → 转化为一阶方程 → 求解一阶方程 → 回代得到原方程的解。