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【格与代数系统】偏序关系、偏序集与全序集

news 来源：原创 2025/6/22 17:16:16

关系：X,Y是两个非空集合, 记X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}.若R\subseteq X\times Y,则称R是X到Y的一个二元关系，简称关系。

若(x,y)\in R,记xRy。

当R\subseteq X\times X时，称R是X上的一个关系。

目录

偏序关系

偏序集

可比性

全序集

最值与上下界

上下确界

偏序关系

设R是X上的一个关系，若R满足：

(1)自反性：对任意的 $x\in X$,有$(x,x)\in R$；

(2)反对称性：若$(x,y)\in R,(y,x)\in R$,则$x=y$；

(3)传递性：若$(x,y)\in R,(y,z)\in R$, 则$(x,z)\in R$；

则称$R$ 是$X$上的一个偏序关系。

例：\left \{ {8,4,2,1} \right \}中，小于或等于关系，即满足偏序关系，可以有关系矩阵

偏序集

一般用符号\leq 来表示偏序关系，从而，称$(X,\leqslant)$是一个偏序集。

偏序关系\rightarrow偏序集

可比性

设 $(X,\leqslant)$是一个偏序集，对任意$x, y\in X$，若$x\leqslant y$与$y\leqslant x$至少有一个成立，则称$x$与$y$可比；反之，若$x\leqslant y$与$y\leqslant x$都不成立，则称$x$与$y$不可比；

若 $x\leqslant y$且$x\neq y$,则记x< y

全序集

若对任意的$x, y\in X$,都有$x$与y可比，则称\leq是一个线性序或全序。并称$(X,\leqslant)$是一个线性序集或全序集。

一个线性序集也称为一条链，偏序集的线性序的子集 (在原偏序关系下) 构成一条链。

偏序集+可比性\rightarrow全序集

最值与上下界

设$(X,\leqslant)$是一个偏序集.

若存在$u\in X$,使得对任意的$x\in X$,有$x\leqslant u$,则称$u$是$(X,\leqslant)$的最大元；

若存在$l\in X$, 使得对任意的$x\in X$, 有$l\leqslant x$,则称l是$(X,\leqslant)$的最小元。

设$(X,\leqslant)$是一个偏序集，$A\subseteq X$.

若存在$\alpha\in X$,对任意的x\in A, 有$x\leqslant \alpha, $则称\alpha是$A$的一个上界；

若存在$\beta\in X$,对任意的$x\in A$,有$\beta\leqslant x$,则称\beta是$A$的一个下界。

上下确界

设$(X,\leqslant)$是一个偏序集，$A\subseteq X$.

若\alpha是$A$的一个上界，且对$A$的任意上界$u$,都有 $\alpha\leqslant u$,则称\alpha是$A$的最小上界或上确界，记$\alpha=\sup\{x|x\in A\};$

若\beta是$A$ 的一个下界，且对$A$的任意下界l,都有\beta \geq l, 则称$\beta$是$A$的最大下界或下确界，记$\beta=\inf\{x|x\in A\}$。

若$A$的上、下确界存在，则记:

$ \bigvee A=\bigvee\{x|x\in A\}=\sup A=\sup\{x|x\in A\}, $

$ \bigwedge A=\bigwedge\{x|x\in A\}=\operatorname*{inf}A=\operatorname*{inf}\{x|x\in A\}. $


 

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