偏微分方程通解求解2

题目

求下列方程的通解：
$$\{\begin{array}{l}{u}_{xy}=u_x{u}_y{u}^{-1};\\ u_{xy}=u_x{u}_y;\\ u_{xy}=\frac{u_x{u}_{y}u}{u^2+1};\end{array}$$

解答

下面分别求解每个方程。

方程 1：$$u_{xy}=u_x{u}_y{u}^{-1}$$

该方程可改写为 $$u_{xy}=\frac{u_x{u}_y}{u}$$。
设 $$v=\ln u$$，则：
$$v_x=\frac{u_x}{u},v_y=\frac{u_y}{u},v_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_x}{u}\right)=\frac{u_{xy}u-u_x{u}_y}{u^2}.$$
代入原方程 $$u_{xy}=\frac{u_x{u}_y}{u}$$，得：
$$v_{xy}=\frac{\left(\frac{u_x{u}_y}{u}\right)u-u_x{u}_y}{u^2}=\frac{u_x{u}_y-u_x{u}_y}{u^2}=0.$$
因此，$$v_{xy}=0$$，其通解为 $$v(x,y)=f(x)+g(y)$$，其中 $$f(x)$$ 和 $$g(y)$$ 为任意可微函数。
还原变量，$$\ln u=f(x)+g(y)$$，即：
$$u(x,y)=e^{f(x)+g(y)}=a(x)b(y),$$
其中 $$a(x)=e^{f(x)}$$，$$b(y)=e^{g(y)}$$ 为任意可微函数。
验证：若 $$u=a(x)b(y)$$，则 $$u_x=a^{\prime }b$$，$$u_y=a{b}^{\prime }$$，$$u_{xy}=a^{\prime }{b}^{\prime }$$，而右边 $$\frac{u_x{u}_y}{u}=\frac{(a^{\prime }b)(a{b}^{\prime })}{ab}=a^{\prime }{b}^{\prime }$$，两边相等。
故通解为：
$$u(x,y)=a(x)b(y),$$
其中 $$a(x)$$ 和 $$b(y)$$ 为任意可微函数。

方程 2：$$u_{xy}=u_x{u}_y$$

该方程为 $$u_{xy}-u_x{u}_y=0$$。
设 $$v=\ln |u_x|$$，则：
$$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{u_{xy}}{u_x}.$$
代入原方程 $$u_{xy}=u_x{u}_y$$，得：
$$\frac{\partial v}{\partial y}=u_y.$$
即：
$$\frac{\partial }{\partial y}(\ln |u_x|)=\frac{\partial u}{\partial y}.$$
移项得：
$$\frac{\partial }{\partial y}(\ln |u_x|-u)=0.$$
因此，$$\ln |u_x|-u$$ 与 $$y$$ 无关，是 $$x$$ 的函数：
$$\ln |u_x|-u=h(x),$$
即：
$$|u_x|=e^{u+h(x)}=e^{h(x)}{e}^u.$$
故：
$$u_x=\pm e^{h(x)}{e}^u=c(x)e^u,$$
其中 $$c(x)=\pm e^{h(x)}$$ 为任意函数（可正可负）。
该方程为关于 $$x$$ 的一阶偏微分方程（$$y$$ 为参数）：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=c(x)e^u.$$
分离变量：
$$e^{-u}du=c(x)dx.$$
积分：
$$\int e^{-u}du=\int c(x)dx+d(y),$$
其中 $$d(y)$$ 为积分常数（依赖 $$y$$)：
$$-e^{-u}=A(x)+b(y),$$
其中 $$A(x)=\int c(x)dx$$，$$b(y)=-d(y)$$。
即：
$$e^{-u}=-A(x)-b(y).$$
令 $$\varphi (x)=-A(x)$$，$$\psi (y)=-b(y)$$，则：
$$e^{-u}=\varphi (x)+\psi (y).$$
由于 $$e^{-u}>0$$，需 $$\varphi (x)+\psi (y)>0$$，解得：
$$u(x,y)=-\ln (\varphi (x)+\psi (y)).$$
验证：若 $$u=-\ln v$$，$$v=\varphi (x)+\psi (y)$$，则 $$u_x=-\frac{{\varphi }_x}{v}$$，$$u_y=-\frac{{\psi }_y}{v}$$，$$u_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{{\varphi }_x}{v}\right)={\varphi }_x{\psi }_y{v}^{-2}$$，而右边 $$u_x{u}_y=\left(-\frac{{\varphi }_x}{v}\right)\left(-\frac{{\psi }_y}{v}\right)={\varphi }_x{\psi }_y{v}^{-2}$$，两边相等。
故通解为：
$$u(x,y)=-\ln (\varphi (x)+\psi (y)),$$
其中 $$\varphi (x)$$ 和 $$\psi (y)$$ 为任意可微函数，且满足 $$\varphi (x)+\psi (y)>0$$（对所有 $$x,y$$）。

方程 3：$$u_{xy}=\frac{u_x{u}_{y}u}{u^2+1}$$

设 $$v=\arctan u$$，则：
$$v_x=\frac{u_x}{1+u^2},v_y=\frac{u_y}{1+u^2},$$
$$v_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{u_x}{1+u^2}\right)=\frac{u_{xy}(1+u^2)-u_x\cdot 2u{u}_y}{(1+u^2{)}^2}.$$
代入原方程 $$u_{xy}=\frac{u_x{u}_{y}u}{u^2+1}$$，得：
$$v_{xy}=\frac{\left(\frac{u_x{u}_{y}u}{u^2+1}\right)(1+u^2)-2u{u}_x{u}_y}{(1+u^2{)}^2}=\frac{u_x{u}_{y}u-2u{u}_x{u}_y}{(1+u^2{)}^2}=\frac{-u{u}_x{u}_y}{(1+u^2{)}^2}.$$
又 $$v_x{v}_y=\frac{u_x}{1+u^2}\cdot \frac{u_y}{1+u^2}=\frac{u_x{u}_y}{(1+u^2{)}^2}$$，所以：
$$v_{xy}=-u{v}_x{v}_y.$$
由于 $$u=\tan v$$，有：
$$v_{xy}=-\tan v\cdot v_x{v}_y.$$
假设 $$v_x\ne 0$$，则：
$$\frac{v_{xy}}{v_x}=-\tan v\cdot v_y.$$
即：
$$\frac{\partial }{\partial y}\ln |v_x|=-\tan v\cdot \frac{\partial v}{\partial y}.$$
注意到：
$$\frac{\partial }{\partial y}\ln |\cos v|=-\tan v\cdot \frac{\partial v}{\partial y},$$
所以：
$$\frac{\partial }{\partial y}(\ln |v_x|)=\frac{\partial }{\partial y}(\ln |\cos v|).$$
因此：
$$\ln |v_x|-\ln |\cos v|=h(x),$$
即：
$$\ln \left|\frac{v_x}{\cos v}\right|=h(x),\left|\frac{v_x}{\cos v}\right|=e^{h(x)}.$$
故：
$$v_x=c(x)\cos v,$$
其中 $$c(x)=\pm e^{h(x)}$$ 为任意函数。
该方程为关于 $$x$$ 的一阶偏微分方程（$$y$$ 为参数）：
$$\frac{\partial v}{\partial x}=c(x)\cos v.$$
分离变量：
$$\sec vdv=c(x)dx.$$
积分：
$$\int \sec vdv=\int c(x)dx+d(y),$$
其中 $$d(y)$$ 为积分常数（依赖 $$y$$)：
$$\ln |\sec v+\tan v|=A(x)+d(y),$$
其中 $$A(x)=\int c(x)dx$$。
即：
$$|\sec v+\tan v|=e^{A(x)+d(y)}=e^{A(x)}{e}^{d(y)}.$$
令 $$f(x)=e^{A(x)}$$，$$g(y)=e^{d(y)}$$，则：
$$\sec v+\tan v=\pm f(x)g(y).$$
令 $$s=\varphi (x)\psi (y)=\pm f(x)g(y)$$，则：
$$\sec v+\tan v=s.$$
利用恒等式 $${\sec }^{2}v-{\tan }^{2}v=1$$ 及 $$\sec v+\tan v=s$$，解得：
$$\sec v-\tan v=\frac{1}{s}.$$
联立：
$$\sec v=\frac{1}{2}\left(s+\frac{1}{s}\right),\tan v=\frac{1}{2}\left(s-\frac{1}{s}\right).$$
由于 $$u=\tan v$$，有：
$$u=\frac{1}{2}\left(s-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{2}\left(\varphi (x)\psi (y)-\frac{1}{\varphi (x)\psi (y)}\right).$$
为简化，令 $$f(x)=\varphi (x)$$，$$g(y)=\psi (y)$$，则：
$$u(x,y)=\frac{1}{2}\left(f(x)g(y)-\frac{1}{f(x)g(y)}\right).$$
验证：令 $$w=f(x)g(y)$$，则 $$u=\frac{1}{2}(w-w^{-1})$$。计算导数并代入原方程，可得两边相等（过程略）。
故通解为：
$$u(x,y)=\frac{1}{2}\left(f(x)g(y)-\frac{1}{f(x)g(y)}\right),$$
其中 $$f(x)$$ 和 $$g(y)$$ 为任意非零可微函数（即 $$f(x)g(y)\ne 0$$ 对所有 $$x,y$$)，以确保分母不为零。

最终答案

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{方程 }1:\\ u(x,y)=a(x)b(y)\\ \\ \text{方程 }2:\\ u(x,y)=-\ln \left(\varphi (x)+\psi (y)\right)\\ \\ \text{方程 }3:\\ u(x,y)=\frac{1}{2}\left(f(x)g(y)-\frac{1}{f(x)g(y)}\right)\end{array}}$$
其中：

• $$a(x)$$、$$b(y)$$ 为任意可微函数；
• $$\varphi (x)$$、$$\psi (y)$$ 为任意可微函数，且满足 $$\varphi (x)+\psi (y)>0$$（对所有 $$x,y$$)；
• $$f(x)$$、$$g(y)$$ 为任意非零可微函数（即 $$f(x)g(y)\ne 0$$ 对所有 $$x,y$$)。