公钥加密与签名算法计算详解(含计算题例子)

一、RSA 加密算法

密钥生成：

1. 选两个大素数 p 和 q
2. 计算 n = p × q
3. 计算 φ(n) = (p-1)(q-1)
4. 选整数 e 满足 1 < e < φ(n) 且 gcd(e, φ(n)) = 1
5. 计算 d 满足 d × e ≡ 1 mod φ(n)

公钥：(e, n)
私钥：(d, n)

加密：

c ≡ mᵉ mod n

解密：

m ≡ cᵈ mod n

手算示例：

p = 3, q = 11
n = 33
φ(n) = 20
e = 3 (满足 gcd(3,20)=1)
d = 7 (3×7=21≡1 mod20)加密 m=5：
c = 5³ mod 33 = 125 mod 33 = 26解密 c=26：
m = 26⁷ mod 33
26² = 676 ≡ 16 mod 33
26⁴ = (26²)² ≡ 16² = 256 ≡ 25 mod 33
26⁶ = 26⁴ × 26² ≡ 25×16 = 400 ≡ 4 mod 33
26⁷ = 26⁶ × 26 ≡ 4×26 = 104 ≡ 5 mod 33 → 解密成功

二、ElGamal 加密算法

密钥生成：

1. 选大素数 p 和生成元 g
2. 选私钥 x (1 < x < p-1)
3. 计算公钥 y ≡ gˣ mod p

公钥：(p, g, y)
私钥：x

加密：

1. 选随机数 k
2. 计算 c₁ ≡ gᵏ mod p
3. 计算 c₂ ≡ m × yᵏ mod p
   密文：(c₁, c₂)

解密：

m ≡ c₂ × (c₁ˣ)⁻¹ mod p

手算示例：

p=23, g=5, x=6
y = 5⁶ mod 23 = 15625 mod 23 = 8加密 m=10 (k=3)：
c₁ = 5³ mod 23 = 125 mod 23 = 10
c₂ = 10×8³ mod 23 = 10×512 mod 23 = 10×6 = 60 ≡ 14 mod 23
密文：(10,14)解密：
c₁ˣ = 10⁶ mod 23
10²=100≡8, 10⁴=(10²)²≡8²=64≡18, 10⁶=10⁴×10²≡18×8=144≡6 mod 23
m = 14×6⁻¹ mod 23
6⁻¹=4 (6×4=24≡1) → 14×4=56≡10 mod 23 → 解密成功

三、椭圆曲线加密（ECC）

密钥生成：

1. 选椭圆曲线 E 和基点 G
2. 选私钥 $n_B$(整数)
3. 计算公钥 $P_B=n_B\times G$
   公钥：($E,G,P_B$)
   私钥：$n_B$

加密：

1. 在椭圆群中选择一点$P_t=(x_t,y_t)$
2. 选取一个随机数$k$，计算点$P_1:P_1=(x_1,y_1)=kG$
3. 计算 $P_2=(x_2,y_2)=k{P}_B$
4. 计算 $C=m{x}_t+y_t$
   密文：($kG,P_t+k{P}_B,C$)

解密：

$P_t=P_t+k{P}_B-n_B(kG)=P_t+k(n_{B}G)-n_B(kG)$
$m=(C-y_t)/x_t$

手算示例（在曲线 $y^2=x+13x^3+22(mod23)$）：

取$p=23,a=13,b=2$,取生成元$G=(10,5)$
私钥为$n_B=7$，明文为$m=15$,$P_t=(11,1)$

加密:
选取随机数$k=13$，则得
$P_1=kG=13(10,5)=(16,5)$
$P_2=k{P}_B=13(17,21)=(20,18)$
$P_t+k{P}_B=(11,1)+(20,18)=(18,19)$
$C=m{x}_t+y_t=15\times 11+1(mod23)=5$
因此，$C_m=\{(16,5),(18,19),5\}$

解密:
$P_t=P_t+k{P}_B-n_B(kG)=(18,19)-7(16,5)=(11,1)$
$m=(C-y_t)/x_t=(5-1)/11(mod23)=15$

四、RSA 签名

设代签名的消息为m,利用Hash函数计算信息摘要h(m)

签名：

s ≡ h(m)ᵈ mod n
签名信息(s,m)

验证：

计算h(m)
h(m) ≡ sᵉ mod n

手算示例（接RSA加密参数）：

p = 3, q = 11
n = 33
φ(n) = 20
e = 3 (满足 gcd(3,20)=1)
d = 7 (3×7=21≡1 mod20)签名 h(m)=8：
s = 8⁷ mod 33
8²=64≡31, 8⁴=(8²)²≡31²=961≡4 mod 33
8⁶=8⁴×8²≡4×31=124≡25 mod 33
8⁷=8⁶×8≡25×8=200≡2 mod 33 → 签名=(2,8)验证：
h(m) = 2³ = 8 mod 33 → 验证成功

五、ElGamal 签名

利用Hash函数计算信息摘要h(m)

签名：

1. 选随机数 k
2. 计算$r\equiv g^{k}modp$
3. 计算 $s\equiv k^{-1}(h(m)-xr)mod(p-1)$
   签名：(r, s)

验证：

$g^{h(m)}\equiv y^r\times r^{s}modp$

手算示例（接ElGamal参数）：

$p=23,g=5,x=6$

签名 $h(m)=10(k=3)：$
$r=g^k=5^3\equiv 10mod23$
$s=3^{-1}(10-6\times 10)mod22$
$3^{-1}=15(3\times 15=45\equiv 1mod22)$
$s=15\times (10-60)=15\times (-50)\equiv 15\times 16=240\equiv 20mod22$
签名：$(10,20)$

验证：
$g^{h(m)}=5^{10}mod23$
$5^2=25\equiv 2,5^4=2^2=4,5^8=4^2=16,5^{10}=5^8\times 5^2\equiv 16\times 2=32\equiv 9mod23$
$y^r\times r^s=8^{10}\times 10^{20}mod23$
$8^2=64\equiv 18,8^4=18^2=324\equiv 2,8^8=2^2=4,8^{10}=8^8\times 8^2\equiv 4\times 18=72\equiv 3$
$10^2=100\equiv 8,10^4=8^2=64\equiv 18,10^8=18^2=324\equiv 2,10^{16}=2^2=4,10^{20}=10^{16}\times 10^4\equiv 4\times 18=72\equiv 3$
$3\times 3=9\equiv 左边\to 验证成功$

六、Schnorr 签名

密钥生成:

1. 选择两个大素数p和q,q是p-1的大素因子
2. 选择选择一个生成元g,且$g^q\equiv 1(modp)$
3. 选随机数 x,计算$y=g^{x}modp$
   公钥为(p,q,g,y)
   私钥为x

签名：

1. 选随机数k，计算r= gᵏ mod p
2. 计算 e = H(m || r)
3. 计算 s = k + xe mod q
   签名：(e, s)

验证：

rᵥ = gˢ × y⁻ᵉ mod p
验证 H(m || rᵥ) = e

手算示例：

p=23, q=11, g=2, x=5, y=2⁵=32≡9 mod 23签名 m=10 (k=3)：
r = 2³=8 mod 23
设有e = H(10||8) =7
s = 3 + 5×7 = 38 ≡ 5 mod 11 (38-3×11=5)
签名：(7,5)验证：
rᵥ = gˢ×y⁻ᵉ = 2⁵×9⁻⁷ mod 23
2⁵=32≡9
9⁻¹：9×18=162≡162-7×23=162-161=1 → 18
9⁻⁷=(9⁻¹)⁷=18⁷ mod 23
18²=324≡324-14×23=324-322=2
18⁴=(18²)²≡2²=4
18⁶=18⁴×18²≡4×2=8
18⁷=18⁶×18≡8×18=144≡144-6×23=144-138=6
rᵥ=9×6=54≡54-2×23=8 mod 23
H(m||rᵥ)=H(10||8)=7=e → 验证成功

七、DSA 签名

密钥生成:

1. 选择两个素数p和q,p-1能被q整除
2. 选择选择一个生成元g,且$g^q\equiv 1(modp)$
3. 选随机数 x,计算$y=g^{x}modp$
   公钥为(p,q,g,y)
   私钥为x

签名：

1. 选随机数 k
2. 计算 r = (gᵏ mod p) mod q
3. 计算 s = k⁻¹(H(m) + xr) mod q
   签名：(r, s)

验证：

1. 计算 w = s⁻¹ mod q
2. 计算 u₁ = H(m)w mod q
3. 计算 u₂ = rw mod q
4. 计算 v = (gᵘ¹ × yᵘ² mod p) mod q
   验证 v = r

手算示例：

p=23, q=11, g=2, x=5, y=9
H(m)=10签名 H(m)=10 (k=3)：
r = (2³ mod 23) mod 11 = 8 mod 11=8
s = 3⁻¹(10+5×8) mod 11 = 4×50=200≡200-18×11=200-198=2
签名：(8,2)验证：
w = 2⁻¹ mod 11 = 6
u₁ = 10×6=60≡5 mod 11
u₂ = 8×6=48≡4 mod 11 
v = (2⁵×9⁴ mod 23) mod 11
2⁵=32≡9
9²=81≡12, 9⁴=12²=144≡6
9×6=54≡8 mod 23
8 mod 11=8=r → 验证成功

八、ECDSA 签名

密钥生成:

1. 选椭圆曲线 E 和基点 G
2. 选择G的阶满足安全要求的素数n
3. 选私钥d(整数)
4. 计算公钥 Q=dG
   公钥：(n,Q)
   私钥：d

签名：

1. 选随机数 k
2. 计算 (x₁,y₁) = k×G
3. 计算 r = x₁ mod n
4. 计算 s = k⁻¹(H(m) + dr) mod n
   签名：(r, s)

验证：

1. 计算 w = s⁻¹ mod n
2. 计算 u₁ = H(m)w mod n
3. 计算 u₂ = rw mod n
4. 计算 (x₂,y₂) = u₁×G + u₂×Q
   验证 x₂ mod n = r

算法对比与应用场景

算法	安全基础	签名大小	速度	典型应用
RSA	大数分解	大 (3072位)	慢	SSL证书, 加密文件
ElGamal	离散对数	大 (3072位)	慢	PGP加密
ECC	椭圆曲线	小 (256位)	快	移动设备, IoT
Schnorr	离散对数	小	快	比特币闪电网络
DSA	离散对数	中等 (320位)	中等	政府文档
ECDSA	椭圆曲线	小 (512位)	快	区块链, 数字钱包

通过以上手算示例，我们可以直观感受公钥加密和签名的数学本质。尽管实际应用使用大数（通常1024-4096位），但这些小规模计算揭示了算法的核心原理。现代密码学正是建立在这些优雅的数学结构之上，守护着数字世界的安全边界。

“密码学是安全与效率的永恒舞蹈——在数学的约束中寻找完美平衡。”
—— Bruce Schneier