绝对收敛 趋于 0 的速度足够快 | 条件收敛 --＞ 项趋于 0 正负项相互抵消

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1. 级数收敛的必要条件：项趋于 0

• 定理：如果级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，那么

  $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0。$$

• 说明：

  • 这是级数收敛的一个必要条件，但不是充分条件。
  • 即，如果项 $a_n$ 不趋于 0，级数一定发散；
  • 但即使项趋于 0，级数也不一定收敛（例如调和级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$）。
  • 这一条件适用于所有类型的收敛（绝对收敛或条件收敛）。

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2. 绝对收敛与条件收敛的定义

• 绝对收敛：如果 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛。

• 条件收敛：如果 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ 发散，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛。

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3. 项趋于 0 与绝对 / 条件收敛的联系

• 无论是绝对收敛还是条件收敛，都必须满足

  $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0。$$

• 绝对收敛的级数要求更强的条件：

  • $\sum |a_n|$ 的项 $|a_n|$ 也必须趋于 0，
  • 且趋于 0 的速度足够快（例如比较判别法 P级数 等比级数、比值法、根值等）。

• 条件收敛的级数的项 $a_n$ 趋于 0，但正项和负项的贡献相互抵消才导致收敛（如莱布尼茨判别法中的交错级数 – 单调减 趋于0）。

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4. 典型例子

• 绝对收敛的例子：

  $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}$$

  因为 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p$-级数，$p=2>1$）。

• 条件收敛的例子：

  $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$$

  因为 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，但原级数收敛（莱布尼茨判别法）。

• 发散的例子：

  $$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n$$

  因为项不趋于 0（极限振荡为 $-1$ 和 $1$）。

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总结关系：

1. ✅ 收敛级数的项必须趋于 0；
2. ✅ 绝对收敛： 趋于 0 的速度足够快；
3. ✅ 条件收敛： 趋于 0，依赖于正负项的抵消；

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