MIT线性代数第一讲笔记

视频课程如下：
Lec 1 | MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005

求解方程组

引入例题，方程组求解，例题如下：

$$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ -x+2y=3\end{array}$$

使用矩阵的方式进行表示：

$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$

将$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$记作 A , 将 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$记作 X，将$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$记作b，$AX=b$

• 解法一(行图像)

  如下图所示，在直角坐标系中，两个直线相交于点（1，2），所以方程组的解为 x=1 ,y=2

• 解法二（列图像）

  矩阵表方程组：
  $$x\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
  其中$\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$看作二维向量（2，-1），$\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$看成向量（-1，2），$\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$看作向量（0，3），那么方程组就可以看成x倍（2，-1）加上 y 倍的（-1，2）等于（0，3），坐标系表示如下：
  

  由于我们已经通过直角坐标系得知（1，2）是方程组的解，x=1,y=2。那么将x和y带入矩阵方程组，为了图像更加直观看出，将向量（-1，2）进行平移并扩大为原来的2倍，起点由原来的原点变为（2，-1），我们就可以看到图像如下，紫色的向量就是经过平移扩大得到的图像：

这里我们可以看到二维图像（二元一次）可以使用直角坐标系和向量表示，如果扩展到三维图像，九维图像………………