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《信号与系统》第 9 章拉普拉斯变换

news 来源：原创 2025/6/14 12:00:46

9.0 引言

相当广泛的一类信号都能用周期复指数信号（纯虚复指数信号）的线性组合来表示，而复指数信号又是线性时不变系统的特征函数，故而傅里叶分析工具对于分析LTI系统很有用。

连续时间傅里叶变换提供了将信号表示成形如e^st， s=jω 的复指数信号的线性组合；然而，由3.2节引人的特征函数性质及其他很多结果对任意s值都是适用的，而并不是将它仅限于纯虚数的情况。这样的看法就导致了连续时间傅里叶变换的推广，称为拉普拉斯变换，这正是本章要讨论的。下一章将建立对应的离散时间傅里叶变换的推广，称为z变换。

这些变换不仅仅为那些能用傅里叶变换进行分析的信号与系统提供了另一种分析工具和分析角度，而且在一些不能应用傅里叶变换的重要方面，它们也能够应用。

简而言之，拉普拉斯变换和z变换能用于许多不稳定系统的分析，从而在系统的稳定性或不稳定性的研究中起着重要的作用。这一事实再与拉普拉斯变换、z变换（与傅里叶变换共有）的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具，尤其是在第11章要讨论的反馈系统分析中更是如此。

9.1 拉普拉斯变换

在第3章中已经知道，一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统，对e^st复指数输入信号的响应y(t)是

其中，

当s为纯虚数，即s=jω，则式(9.2)的积分就对应于h(t)的傅里叶变换。

当s为一般的复变量，式(9.2)就称为单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换(Laplace transform)。

一个信号x(t)的拉普拉斯变换定义如下：

应该特别注意到，这是一个自变量为s的函数，而s是在e^st中指数的复变量。

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由式(9.3)定义的变换称为双边拉普拉斯变换，以区别于将在9.9节中讨论的单边拉普拉斯变换。式(9.3)的双边变换涉及从- ∞到+ ∞的积分；而单边变换和式(9.3)有类似的形式，但积分限是从0到+∞，因为我们主要讨论的是双边变换，因此一般都略去“双边”二字，仅在9.9节为了避免混淆而需要加上“双边”二字。
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复变量s一般可写成s = σ + jω，其中σ和ω分别是它的实部和虚部。为方便起见，常将拉普拉斯变换表示为算子的形式，而把x(t)和X(s)之间的变换关系记为

当s = jω 时，式(9.3)就变成

这就是x(t)的傅里叶变换，即

当复变量s不为纯虚数时，拉普拉斯变换与傅里叶变换也有一个直接的关系。为了看出这一点，将式(9.3)的X(s)中的s表示成s = σ + jω，则有

或者

我们可以把式(9.8)的右边看成x(t)e^-σt的傅里叶变换——

这就是说，x(t)的拉普拉斯变换可以看成x(t)乘以个实指数信号以后的傅里叶变换。这个实指数e^-σt在时间上可以是衰减的，或者是增长的，这取决于σ是正还是负的。

为了说明拉普拉斯变换，以及它与傅里叶变换的关系，考虑下面的例子。

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【例1】单边实指数信号的傅里叶变换在a>0时收敛。

根据之前的结论，拉普拉斯变换就是a→a+σ：

等价于

即

当a=0，就是阶跃函数的拉普拉斯变换

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

从这个例子应该特别注意到，正如傅里叶变换不是对所有信号都收敛一样，拉普拉斯变换也可能对某些Re{s}值收敛，而对另一些Re{s}值则不收敛。

在式(9.13)中，该拉普拉斯变换仅对 σ=Re{s} > -a收敛，如果a为正值，那么X(s)就能在σ =0求值，从而得到

如式(9.6)所指出的，对于σ=0（虚轴），拉普拉斯变换就等于傅里叶变换，这只要将式(9.9)和式(9.15)比较一下就能看出。如果a是负的或为零，则拉普拉斯变换仍然存在，但傅里叶变换却不存在。

【例2】负单边实指数的拉普拉斯变换

对这个例子，为保证收敛，则要求Re{s+a} <0，或者Re{s} < -a，这就是说

比较一下式(9.14)和式(9.19)可见，对例9.1和例9.2中的两个信号，它们的拉普拉斯变换代数表示式都是一样的；然而，这个代数表示式能成立的s域却大不相同。

这就说明，在给出一个信号的拉普拉斯变换时，代数表示式和该表示式能成立的变量s值的范围都应该给出。

拉普拉斯变换的收敛域（ROC）：一般把使积分式(9.3)收敛的s值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域(region of convergence)，特简记为ROC。

也就是说，收敛域是由这样一些s = σ + jω组成的，对这些s来说，x(t)e^-σt的傅里叶变换收敛。随着我们深入讨论拉普拉斯变换的性质，关于收敛域将有更多的话要说。

表示收敛域的一个简便方法如图9.1所示。

变量s是一个复数，在图9.1上展示出的复平面，一般称为与这个复变量有关的s平面。

沿水平轴是Re{s}轴，沿垂直轴是Im{s}轴，水平轴和垂直轴有时分别称为 σ 轴和 jω 轴。

图9.1 ( a)的阴影部分就是对应例9.1的收敛域；而图9.1(b)的阴影部分指出了例9.2的收敛域。

【例3】实指数信号和的拉普拉斯变换

为了确定它的收敛域，我们注意到，x(t)是两个实指数信号的和，而X(s)是单独每一项的拉普拉斯变换之和。于是，使这两项拉普拉斯变换都收敛的那些Re{s}值的集合就是Re{s} > -1，这样把式(9.22)右边这两项合起来，就得到

【例4】实指数与复指数的和

转化为

拉普拉斯变换

即

以上4个例子中的每一个，其拉普拉斯变换式都是有理的，也即都是复变量s的两个多项式之比，具有如下形式：

其中，N(s)和D(s)分别是分子多项式和分母多项式。

正如在例9.3和例9.4中所见到的，只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)就一定是有理的。并且，在9.7节中将会看到，当线性时不变系统用线性常系数微分方程表征时，也会见到有理变换。除去一个常数因子外，在一个有理拉普拉斯变换式中，分子与分母多项式都能够用它们的根来表示，据此，在s平面内标出N(s)和D(s)根的位置，并指出收敛域，就提供了一种描述拉普拉斯变换的方便而形象的表示。

例如：
① 用“×"来表示式(9.23)中分母多项式的每个根的位置；
② 用“○"来表示式(9.23)中分子多项式的每个根的位置；

在图9.2(a)中就展示了例9.3的拉普拉斯变换的s平面表示。图9.2(b)则是例9.4的拉普拉斯变换式分子和分母多项式的根所对应的图。每一个例子的收敛域都在相应的图上用阴影区给出。

对于有理拉普拉斯变换来说：

零点：因为在分子多项式的那些根上X(s)=0，故称其为X(s)的零点( zero)；

极点：而在分母多项式的那些根上X(s)变成无界的，故称分母多项式的根为X(s)的极点(pole)。

在有限s平面内，X(s)的零点和极点，除了一个常数因子外可以完全表征X(s)的代数表示式。

零-极点图(pole-zero plot)：通过s平面内的极点和零点的X(s)的表示就称为X(s )的零-极点图。

然而，正如在例9.1和例9.2中所看到的，X(s)的代数表示式本身并不能确认该拉普拉斯变换的收敛域。这也就是说，除了一个常数因子外，一个有理拉普拉斯变换的完全表征是由该变换的零-极点图与它的收敛域一起组成的(一般在s平面内，收敛域用阴影区表示，如图9.1和图9.2所示)。

另外，虽然不一定都需要给出一个有理变换X(s)的代数表示式，但是有时为了指明X(s)在无限远点的极点或零点，有了代数表示式倒是较为方便的。

也就是说：

① 如果分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，那么X(s)将随s趋于无穷大而变为零，无穷远处为零点。

② 如果分子多项式的阶次高于分母多项式的阶次，那么X(s)将随s趋于无穷大而变成无界，无穷远处为极点。

例如，在式(9.23)中的拉普拉斯变换的分母的阶为2，而分子的阶仅为1，所以在这种情况下，X(s)在无穷远点有一个零点。同样，在式(9.30)中的拉普拉斯变换的分子的阶为2，而分母的阶为3，在无穷远点也有一个零点。

k阶零点：如果分母的阶次超出分子的阶次为k次，则X(s)在无穷远点一定有k阶零点；

k阶极点：如果分子的阶次超出分母的阶次为k次，则X(s)在无穷远点一定有k阶极点。

【例5】如下信号的拉普拉斯变换

单位冲激的拉普拉斯变换

收敛域是整个s平面

整体的拉普拉斯变换

或者

其中，这个收敛域是对x(t)的三项拉普拉斯变换都收敛的s值的集合。该例的零-极点图及其收敛域如图9.3所示。另外，因为X(s)的分子、分母同阶次，所以X(s)在无穷远点既无极点，也无零点。

回顾式(9.6)，当s=jω 时，拉普拉斯变换就是傅里叶变换。然而，如果这个拉普拉斯变换的收敛域不包括 jω轴，即Re{s}=0不在收敛域，那么傅里叶变换就不收敛。

正如从图9.3中所看到的，事实上这就是例9.5的情况，与在x(t)中(1/3 )e^2t·u(t)这一项没有傅里叶变换是一致的。

同时，从这个例子还可看到，式(9.35)中的两个零点出现在同一个s值上。一般都用零点或极点标志的重复次数来指出它们的阶数。在例9.5中有一个二阶零点在s =1,并且有两个一阶极点分别在s = -1和s =2。在这个例子中，收敛域位于最右边极点的右边。

一般来说，对于一个有理拉普拉斯变换，在极点位置和与一个给定的零-极点图有关的收敛域之间存在一种紧密的关系，并且一些具体的限制都与x(t)的时域性质密切有关。下一节将说明这些限制和有关的性质。

9.2 拉普拉斯变换收敛域

从前面的讨论已经看到，拉普拉斯变换的全部特性不仅要求X(s)的代数表示式，而且还应该伴随着收敛域的说明。

这一点在例9.1和例9.2中体现得最为明显：两个很不相同的信号能够有完全相同的X(s)代数表示式，因此它们的拉普拉斯变换只有靠收敛域才能区分。

这一节将说明对各种信号在收敛域上的某些具体限制——理解了这些限制往往使我们仅仅从X(s)的代数表示式和x(t)在时域中的某些一般特征，就能明确地给出或构成收敛域。

这一性质来自于这样一个事实：X(s)的收敛域是由这样一些s=σ + jω所组成的，在那里x(t)e^-σt的傅里叶变换收敛。

也就是说，x(t)的拉普拉斯变换的收敛域是由这样一些s值组成的，对于这些s值，x(t)e^-σt是绝对可积的，即

因为这个条件只与σ，即s的实部有关，所以就得到性质1。

这个性质，在到目前为止所研究的例子中都能很容易地看出。因为，在一个极点处，X( s )为无限大，式(9.3)的积分显然在极点处不收敛，所以收敛域内不能包括属于极点的s值。

这个结果背后的直观性由图9.4和图9.5可以想到。

也就是说，一个有限持续期的信号具有这个性质：它在某一有限区间之外都是零，如图9.4所示。

在图9.5(a)中画出了图9.4这样的x(t)乘以一个衰减的指数函数，而在图9.5(b)中则画出同一类型的信号乘以一个增长的指数函数。因为，x(t)为非零的区间是有限长的，所以指数加权永远不会无界，这样x(t)的可积性不会由于这个指数加权而破坏就是合情合理的了。

性质3的一个更加正规的证明如下：假设x(t)是绝对可积的，所以有

对于在收敛域内的s=σ+jω，就要求x(t)e^-σt是绝对可积的，即

式(9.37)表明当Re{s} =σ=0时的s平面在收敛域内。对于σ >0，e^-σt在x(t)为非零的区间内的最大值是e^-σT1，因此可以写成

因为式(9.39)的右边是有界的，所以左边也就是有界的；因此当Re{s} >0时的s平面必须也在收敛域内。依类似的证明方法，若σ<0，那么

x(t)e^-σt也是绝对可积的。因此，收敛域包括整个s平面。

【例9.6】设x(t)为

傅里叶变换

在这个例子中，因为x(t)是有限长的，由性质3，其收敛域就是整个s平面。在式(9.42)中，形式上好像X(s)有一个极点在s=-a，而这与根据性质3与收敛域由整个s平面所组成是不一致的。然而，事实上式(9.42)的代数表示式在s = -a都是分子和分母的零点！为了确定s = -a处的X(s)值，可以应用洛必达法则而得

所以

在x(t)为非零的区间上，保证指数型权函数是有界的，认识到这一点很重要，上面的讨论主要依据这一事实：x(t)是有限持续期的。下面两个性质要讨论有关这一结果的一种变形，即x(t)具有的有限范围仅仅在正时间或负时间方向上。

右边信号：若在某有限时间T1之前，x(t)=0，则称该信号为右边信号。

如图9.6所示。

对于这样一个信号，有可能不存在任何s值，使其拉普拉斯变换收敛。

一个例子就是x(t)=。

然而，假如拉普拉斯变换对某一σ值收敛，比如σ0，那么

或者，因为x(t)是右边信号，可等效为

如果σ1>σ0，由于随t→+∞，e^-σ1t衰减得比e^-σt快，如图9.7所示。

那么x(t)e^-σ1t也就一定绝对可积。正规一些，可以说，由于σ1>σ0，而有

因为T1是有限值，根据式(9.45)，在式(9.46)不等式的右边就是有限的，所以x(t)e^-σ1t就是绝对可积的。

应该注意到，在以上的证明中明显依赖这一事实：x(t)是右边信号。因而即使σ1>σ0，随着t→-∞，e^-σ1t发散快于e^-σ0t，但是由于t<T1时，x(t)=0，x(t)e^-σ1t在负的时间轴方向也不能无界地增长。同时，在这种情况下，如果有某一点s在收敛域内，那么所有位于这个s点右边的点，也就是所有具有更大实部的点，都在收敛域内。为此，这时一般就说收敛域是在右半平面。

左边信号：若在某一有限时间T2以后，x(t)=0，则称该信号为左边信号。

如图9.8所示。

这个性质的证明和直观性完全与性质4所做的类似。同时，对于一个左边信号，如果有某一点s在收敛域内，那么所有位于这个s点左边的点也都在收敛域内。因此一般就说收敛域是在左半平面。

双边信号：对t > 0和t < 0都具有无限范围的信号，如图9.9(a)所示。

对于这样一个信号，其收敛域可以这样求出：选取任一时间T0，然而将x(t)分成右边信号xR(t)和左边信号xL(t)之和，如图9.9(b)和图9.9(c)所示。x(t)的拉普拉斯变换的收敛域就是能使xR(t)和xL(t)两者的拉普拉斯变换都收敛的区域。

根据性质4，对于某σR值，的收敛域由Re{s} > σR的半平面组成；而根据性质5，对于某σL值，的收敛域由Re{s} < σL的半平面组成。

的收敛域就是这两个半平面的重叠部分，如图9.10所示。

当然，这里假设σR<σL，因而这两半平面有某些重合。如果不是这种情况，那么即使xR(t)和xL(t)的拉普拉斯变换存在，x(t)的拉普拉斯变换也不存在。

【例9.7】设x(t)为

对于b>0和b<0均如图9.11所示。因为这是一个双边信号，可将它分为右边信号和左边信号之和，即

则

虽然，式(9.48)中每一单独项的拉普拉斯变换都有一个收敛域，但如果b≤0，就没有公共的收敛域，于是对这样一些b值，x( t)就没有拉普拉斯变换。如果b>0，则α(t)的拉普拉斯变换是

相应的零-极点图如图9.12所示，阴影区所指为收敛域。

一个信号要么没有拉普拉斯变换，否则就一定属于由性质3到性质6这4类情况中的某一种。

有限持续期、右边信号、左边信号、双边信号。

于是对具有某一拉普拉斯变换的信号而言，收敛域一定是整个s平面(有限长信号)、某一左半平面(左边信号)、某一右半平面(右边信号)、一条带状收敛域(双边信号)这4种中的一种。

在所有已经讨论过的例题中，收敛域都有一个另外的性质：收敛域在每一个方向上都是被极点所界定的，或者延伸到无限远。事实上，对有理拉普拉斯变换来说，下面这个性质总是成立的。

对于这一性质的正规证明有些烦琐，但它基本上是由于如下事实的一个结果：一个具有有理拉普拉斯变换的信号均由指数信号的线性组合构成，并且根据例9.1和例9.2，该线性组合中的每一项变换的收敛域一定有这一性质。作为性质7的一个结果，再与性质4和性质5结合在一起就有如下性质。

为了说明不同的收敛域如何与相同的零-极点图相联系，考虑下面这个例子。

【例9.8】设有一拉普拉斯变换代数表达式

其零-极点图如图9.13(a)所示。正如在图9.13(b)～图9.13(d)中所指出的，与这个代数表示式有关的有三种可能的收敛域，对应着三种不同的信号。

图9.13(b)零-极点图有关的是右边信号。因为收敛域包括jω轴，所以该信号的傅里叶变换收敛。

图9.13(c)对应于一个左边信号。

图9.13(d)对应于一个双边信号。

后面这两个信号没有傅里叶变换，因为它们的收敛域都不包括jω轴。

9.3 拉普拉斯逆变换

9.1节讨论了把一个信号的拉普拉斯变换看成该信号经指数加权后的傅里叶变换；也就是说，将s表示成s=σ+jω，一个信号x(t)的拉普拉斯变换是

其中，s = σ+jω在收敛域中。可以利用式(4.9)的傅里叶逆变换关系对式(9.53)求逆变换为

或者将两边各乘以e^σt，可得

这就是说，可以这样从拉普拉斯变换中来恢复x(t)：在收敛域内，将σ固定不变，在ω从-∞到+∞变化的这一组s=σ+jω值上按式(9.55)求值。若将变量在式(9.55)中从ω改变为s，并利用σ是常数这一点，可以将该式的意义更为突出，并对根据X(s)恢复x(t)有更深刻的认识。因为σ是常数，所以ds = jdω，可得拉普拉斯逆变换的基本关系式为

上式说明，x(t)可以用一个复指数信号的加权积分来表示。

式(9.56)的积分路径是在s平面内对应于满足Re{s}=σ的全部s点的这条直线，该直线平行于jω轴。再者，在收敛域内可以选取任何这样一条直线；也就是说，在收致域内可以选取任何σ值，而使X(σ+jω)收敛。对于一般的X(s)来说，这个积分的求值要求利用复平面的围线积分（在此不讨论）。然而，对于有理变换，求其拉普拉斯逆变换不必直接计算式(9.56)，而可以像在第4章求傅里叶逆变换所做的那样，采用部分分式展开法。

这一过程基本上就是把一个有理代数表示式展开成低阶次项的线性组合。

例如，假设没有重阶极点，并假设分母多项式的阶高于分子多项式的阶（真分式），那么X(s)就可以展开为如下形式：

根据X(s)的收敛域，该式中每一项的收敛域都能推演出来，然后由例9.1和例9.2，每一项的拉普拉斯逆变换都可被确定。在式(9.57)中每一项的逆变换都有两种可能的选择：

若收敛域位于极点s = -ai的右边，那么这一项的逆变换就是，是一个右边信号；

若收敛域位于极点s = -ai的左边，那么这一项的逆变换就是，是一个左边信号。

将式(9.57)中每一项的逆变换相加，就得到X(s)的逆变换。

【例9.9】设有X(s)

部分分式展开

因为X(s)的收敛域是Re{s} > -1，那么式(9.62)中的每一项的收敛域都应包括Re{s} > -1。

拉普拉斯变换

【例9.10】假设X(s)同上，收敛域Re{s}<-2。

拉普拉斯变换

【例9.11】假设X(s)同上，收敛域-2<Re{s}<-1。

拉普拉斯变换

正如在附录A中所讨论的，当X(s)有重阶极点，或者分母的阶次不高于分子的阶次（假分式）时，部分分式展开式中除了在例9.9到例9.11中考虑的一次项外，还应包括其他项。到9.5节，当讨论完拉普拉斯变换的性质以后，还将讨论其他一些拉普拉斯变换对，连同拉普拉斯变换的性质起，就能将例9.9所给出的求逆变换的方法推广到任意有理变换中去。

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真分式：

假分式：

简单真分式：

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9.4 由零-极点图对傅里叶变换进行几何求值

在9.1节已经看到，一个信号的傅里叶变换就是拉普拉斯变换在jω轴上的求值。

这一节将讨论由与一个有理拉普拉斯变换有关的零-极点图来求傅里叶变换的一种求值方法。

并且更一般地说，求拉普拉斯在任意s点上的值的几何求值法。

为了建立这一方法，首先考虑只有单个零点的拉普拉斯变换[即X(s)= (s-a)]在某一给定的s，如s =s1处求值。这个代数表示式s1-a是两个复数的和（向量求和），一个是s1，另一个是-a；它们中的每一个都能在复平面内用一个向量来表示，如图9.15所示。

然后，代表这个复数(s1- a)的向量就是向量s1和-a之和；在图9.15中可以看出，这个向量就是从s =a这个零点到点s1的向量s1-a。这样，X(s1)的模就是这个向量的长度，而相位就是这个向量对于实轴的角度。如果X(s)在s=a是一个极点，即X(s)=1/(s-a)，那么X(s)的分母就是上面讨论的同一向量，这时X(s)的模是该向量(从极点s = a到s=s1点)长度的倒数，而相位则是该向量相对于实轴角度的负值。

一个更一般的有理拉普拉斯变换是由上述讨论的零点和极点项的乘积所组成的，也就是说，一个有理拉普拉斯变换可以因式分解成

为了求取X(s)在s=s1的值，乘积中的每―项都可用一个从零点或极点到s1点的向量来表示。那么，X(s)的模就是各零点向量(从各个零点到s1的向量)长度乘积的M倍被各极点向量(从各个极点到s1的向量)长度的积相除，而复数X(s)的相角则是这些零点向量相角的和减去这些极点向量相角的和。

如果在式(9.70)中比例因子M是负的，则对应有一个附加相角π。

如果X(s)有多阶极点或零点(或均有)，即相应于某些αi 或/和 βi是相等的，那么这些多阶极点或零点向量的长度和相角在X(s1)中都应包括相应的倍数(等于极点或零点的阶)。

【例9.12】设X(s)为

傅里叶变换

X(s)的零-极点图如图9.16所示。

为了用几何法确定傅里叶变换，在图中构造了一个极点向量。傅里叶变换在频率ω处的模，就是从极点到虚轴上 jω 点向量长度的倒数，而傅里叶变换的相位就是该向量相角的负值。由图9.16，从几何上可写出

傅里叶变换几何确定的价值往往在于近似观察整体特性。例如，在图9.16中很快能看出，极点向量的长度随ω的增加而单调增加，因此傅里叶变换的模将随ω的增加而单调下降。由零-极点图对傅里叶变换特性得出一般性结论的能力，下面会用一阶和二阶系统作为例子进一步说明。

9.4.1 一阶系统

……

9.4.2 二阶系统

……

9.4.3全通系统

……

9.5 拉普拉斯变换的性质

这一节，将考虑相应的一组拉普拉斯变换的性质。很多结果的导出都和傅里叶变换中相应性质的导出是类似的，因此这里不进行详细推导，有些将在本章末习题中作为课后作业(见习题9.52至习题9.54)。

9.5.1 线性性质

注意：和函数的L变换的收敛域是取交集！！！

这个交可以是空的，若是这样，X(s)就没有收敛域，即x(t)不存在拉普拉斯变换。

X( s )的收敛域也可能比这个“交”大——作为一个简单例子，在式(9.82)中，若x1(t)=x2(t)且a=-b，则有x(t)=0，因此X(s)=0，这样X(s)的收敛域就是整个s平面。

【例9.13】考虑信号

其中单项拉普拉斯变换

X(s)和X(s)的零-极点图及收敛域如图9.22(a)和图9.22(b)所示。

由式(9.82)知

由此，在x1(t)和x2(t)的线性组合中，在s = -1的极点被s = -1的零点所抵消。X( s )=X1(s)-X2(s)的零-极点图如图9.22(c)所示。X1(s)和X2(s)的收敛域的交是Re{s} > -1。然而，因为收敛域总是被一个极点或无限远点所界定，对这个例子来说，X(s)的收敛域就能够再向左延伸，直至被s = -2的极点所界定为止，这就是由于在s = -1零极点抵消的结果。

例9.13 这个例子要说明一个由信号的线性组合构成的信号，其拉普拉斯变换的收敛域有时可能会延伸到超过这些单项收敛域的交。

9.5.2 时移性质

9.5.3 s域平移

这就是说，X(s-s0)的收敛域是X(s)的收敛域平移一个Re{s0}。于是，对位于R中的任何一个s值，s + Re{s0}的值一定在R中，如图9.23所示。

应该注意，如果X(s)有一个极点或零点在s=a，那么X(s-s0)就有一个极点或零点在s-s0 = a，也就是s=a+s0。

式(9.88)的一个重要的特殊情况是当s0=jω0时，也就是当一个信号x(t)用来调制一个周期复指数信号e^jω0t时，式(9.88)就变成

式(9.89)的右边可以看成在s平面内平行于实轴的一个平移，这就是说，若x(t)的拉普拉斯变换在s =a有一个极点或零点，那么e^jω0t·x(t)就在s = a+jω0有一个极点或零点。

9.5.4 时域尺度变换

这就是说，对于在R中的任何s值[见图9.24(a)]，a · s 的值一定位于R1中，如图9.24(b)所示，这里0<a<1。

注意，对于0<a<1，X(s)的收敛域要变为原来的a倍，如图9.24(b)所示；而对于a>1，收敛域要扩展为原来的a倍。另外，式(9.90)还意味着，若a为负，收敛域就要进行倒置再加一个尺度变换。特别是，如图9.24(c)所示，该图是对应于-1<a<0的情况，1/|a|·X(s/a)的收敛域涉及关于jω轴的反转，再加上一个1/|a|因子的收敛域大小的变化。因此，x(t)的时间反转就形成收敛域的反转，即

9.5.5 共轭

因此

因此，若x(t)为实函数并且若X(s)有一个极点或零点在s=s0，即如果X(s)在s = s0无界或为零那么X(s)也一定有一个复数共轭的s=s0*的极点或零点。例如，例9.4中的实信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)就有共轭成对极点s = 1±3j和零点

结论：实函数的L变换的零/极点一定在实轴上、或相对于实轴对称。

9.5.6 卷积性质

因此，和9.5.1节的线性性质一样，X1(s)X2(s)的收敛域包括X1(s)和X2(s)的收敛域的相交部分。

如果在乘积中有零极点相消，那么X1(s)X2(s)的收敛域也可以比它们的相交部分大。

例如，若

那么X1(s)X2(s)=1，它的收敛域就是整个s平面。

正如在第4章中所看到的，傅里叶变换中的卷积性质在线性时不变系统的分析中起着很重要的作用。在9.7节和9.8节中，也将利用拉普拉斯变换的卷积性质来分析线性时不变系统，更具体一些就是分析由线性常系数微分方程所表征的系统。

9.5.7 时域微分

将式(9.56)的逆变换式两边对t微分，就可得到这个性质。

sX(s)的收敛域包括X(s)的收敛域，并且如果X(s)中有一个s=0的一阶极点被乘以s(零点)抵消了，还可以比X(s)的收敛域更大。

例如，若x(t)=u(t)，那么X(s) =1/s，收敛域是Re{s} >0，而x(t)的导数是一个单位冲激函数δ(t)，它的拉普拉斯变换是1，而且收敛域是整个s平面。

9.5.8 s域微分

L变换两边对s微分可证。

【例9.14】求x(t)的L变换。

拉普拉斯变换

事实上，反复利用式9.100，可得

或更为一般的形式

下一个例子要说明，当将部分分式展开用于求一个具有重阶极点的有理函数的逆变换时，这个特殊的拉普拉斯变换对是特别有用的。

【例9.15】考虑如下拉普拉斯变换

部分分式展开

因为收敛域在极点s = -1和s = -2的右边，所以每一项逆变换都是一个右边信号，再应用式(9.14)和式(9.104)，可得逆变换为

9.5.9 时域积分

这个性质是9.5.7节所述微分性质的逆性质，利用9.5.6节的卷积性质可以将它导出，即

由例9.1，若a =0，则有

根据卷积性质有

它的收敛域应包括X(s)的收敛域和式(9.108)中u(t)拉普拉斯变换收敛域的相交，这就是式(9.106)给出的收敛域结果。

9.5.10 初值定理与终值定理

若t<0，x(t)=0，并且在t=0时，x(t)不包含冲激或高阶奇异函数，在这些特别限制下，就可以直接从拉普拉斯变换式中计算出初值x(0+)，即当t从正值方向趋于0时x(t)的值。

以及终值，即t→∞时，x(t)的值。

这些结果的导出留在习题9.53中考虑。

【例9.16】初值定理与终值定理在验证一个信号的拉普拉斯变换计算结果的正确性方面很有用。

例如，考虑例9.4中的信号x(t)，由式(9.24)可见x(0*)=2，同时利用式(9.29)可求出

这与式(9.110)的初值定理是一致的。

9.5.11 性质列表

表9.1综合了本节中所得到的全部性质，在9.7节将拉普拉斯变换用于线性时不变系统的分析和表征时，会用到很多这些性质。正如已在几个例子中所说明的，拉普拉斯变换及其收敛域的各种性质，都能为一个信号及其变换提供大量的信息，而这些无论是在表征信号方面，还是校核一个计算的结果方面，都是有用的。在9.7节和9.8节及本章末的习题中，将给出应用这些性质的其他一些例子。

9.6 常用拉普拉斯变换对

正如9.3节所指出的，把X(s)分解成较简单的一些项的线性组合，拉普拉斯逆变换往往很容易求得，因为这些简单项的拉普拉斯变换可以直接写出来，或者极易求得。

表9.2列出了若干常用的拉普拉斯变换对。

第1对直接由式(9.3)得到。

第2对、第6对可由例9.1分别以a=0和a=α代入求出。

第4对利用微分性质由例9.14可得。

第8对在变换对4的基础上利用9.5.3节的性质可得。

变换对3、5、7、9分别在变换对2、4、6、8的基础上，再结合9.5.4节的时域尺度变换性质，以a = -1代入而得出。

类似地，变换对10到16都可以利用表9.1的有关性质，在前面那些变换对的基础上导得(见习题9.55)。

9.7 用拉普拉斯变换分析与表征线性时不变系统

拉普拉斯变换的重要应用之一是对线性时不变系统的分析与表征。对于线性时不变系统拉普拉斯变换的作用直接来自于卷积性质(见9.5.6节)。

根据这一性质就可以得到：一个线性时不变系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的。即：

其中，X(s)，Y(s)和H(s)分别是系统输入、输出和单位冲激响应的拉普拉斯变换。

式(9.112)是与傅里叶变换场合的式(4.56)相对应的。事实上，当s = jω时，式(9.112)拉普拉斯变换中的每一项都变成相应的傅里叶变换，这样式(9.112)就完全相当于式(4.56)。

另外，根据3.2节关于线性时不变系统对复指数信号响应的讨论，若一个线性时不变系统的输入是x(t)= e^st，那么其输出就一定是H(s)e^st；也就是说，e^st是系统的一个特征函数，而其特征值就等于单位冲激响应的拉普拉斯变换。

当s = jω时，H(jω)就是这个线性时不变系统的频率响应。

在拉普拉斯变换的范畴内，一般称H(s)为系统函数（转移函数）。

线性时不变系统的很多性质都与系统函数在s平面的特性密切有关。

下面将通过几个重要的系统性质和几类重要系统来说明这一点。

9.7.1因果性

对于一个因果线性时不变系统，其单位冲激响应在t<0时为零，因此是一个右边信号，这样根据9.2节的讨论，可见有

应该强调的是，相反的结论未必是成立的。

如例9.19所说明的，位于最右边极点的右边的收敛域并不保证系统是因果的，它只保证单位冲激响应是右边的。

因果系统：t<0时有h(t)=0。

右边信号：t<t0时有h(t)=0。

然而，如果H(s)是有理的，那么如例9.17和例9.18所表明的，只须看它的收敛域是否是右半平面的，就能确定该系统是否是因果的，从而有

【例9.17】

……

【例9.18】

……

【例9.19】

……

可以用完全类似的方式来处理有关反因果性的概念。

反因果系统：如果系统的单位冲激响应在t>0，h(t)=0，就说该系统是反因果的。

因为在这种情况下，h(t)是左边信号，由9.2节知道，系统函数H(s)的收敛域就必须是某个左半平面。同样，一般来说其相反的结论是不成立的；

也就是说，如果H(s)的收敛域是某个左半平面，那么我们所知道的只是h(t)是左边的。

然而，如果H(s)是有理的，那么收敛域位于最左边极点的左边就等效于系统是反因果的。

有理的：自变量的幂的多项式之比——不含e^s、lns……

9.7.2 稳定性

H(s)的收敛域也可以与系统的稳定性联系起来。正如2.3.7节曾提到的，一个线性时不变系统的稳定性等效于它的单位冲激响应是绝对可积的，这时单位冲激响应的傅里叶变换收敛(见4.4节)。因为一个信号的傅里叶变换就等于拉普拉斯变换沿jω轴求值，所以就有

【例9.20】考虑一个线性时不变系统，其系统函数为

因为没有给出收敛域，那么根据9.2节的讨论知道，存在几种不同的收敛域，就会有几种不同的单位冲激响应与式(9.119)给出的H(s)代数表示式相联系。

然而，如果有关于系统的因果性或稳定性方面的信息，那么适当的收敛域还是能被确定的。

例如，若系统已知是因果的，那么收敛域一定为图9.25(a)所示。

这时的单位冲激响应就是

注意，这种收敛域的选择并未包括 jω 轴，因此对应的系统是不稳定的。只要看看h(t)不是绝对可积的就能得出这个结果。

另一方面，若系统已知是稳定的，那么收敛域就如图9.25(b)所示。相应的单位冲激响应是

这是绝对可积的。

最后，收敛域为图9.25(c)所示，这时的单位冲激响应为

系统是反因果的，而且是不稳定的。

当然，一个系统是稳定(或不稳定)的，而有一个非有理的系统函数，这完全是可能的。例如，式(9.115)的系统函数不是有理的（含e^s），而它的单位冲激响应式(9.118)是绝对可积的，这就表明系统是稳定的。

然而，对于具有有理系统函数的系统，其稳定性很容易用系统的极点来说明。例如，对于图9.25的零-极点图，稳定性就对应于收敛域的选择要在两个极点之间，以使jω轴位于收敛域内。

对于一种特别而重要的系统，稳定性可以很简单地用极点的位置来表征。具体而言，考虑一个因果线性时不变系统，具有有理系统函数H(s)，因为系统是因果的，收敛域就在最右边极点的右边，因此这个系统若是稳定的，即收敛域包括jω轴，H(s)的最右边的极点就必须位于jω轴的左边，即

【例9.21】系统单位冲激响应

因果稳定系统，拉普拉斯变换

极点在s=-1，在s平面的左半平面。

与此相反，系统单位冲激响应

因果不稳定系统，拉普拉斯变换

极点在s=2，在s平面的右半平面。

【例9.22】

……

9.7.3 由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统

4.7节已经讨论过利用傅里叶变换来得到一个由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统的频率响应，而用不着首先解出单位冲激响应或时域解。

用完全类似的方式，拉普拉斯变换的性质也能用来直接求得一个由线性常系统微分方程所表征系统的系统函数。

下面的例子用来说明这一过程。

【例9.23】考虑如下LTI系统的输入-输出线性常系数微分方程。

左右两边作拉普拉斯变换，由系统函数的定义

则有

这样就给出了系统函数的代数表示式，但没有收敛域。事实上，正如在2.4节所讨论的，微分方程本身并不能完全表征这个线性时不变系统，有不同的单位冲激响应都与这个微分方程相吻合。

如果除了这个微分方程之外，还知道系统是因果的，那么就可以推断出收敛域在最右边极点的右边，在这个例子中就对应于Re{s}> -3；

如果已知系统是反因果的，那么收敛域就是Re{s}<-3。

在例9.23中，由微分方程得到H(s)的过程可以应用到更一般的情况。

考虑如下形式的线性常系数微分方程：

在上式两边进行拉普拉斯变换，并反复应用线性和微分性质，可得

或者

因此，一个由微分方程表征的系统，其系统函数总是有理的。

它的零点就是如下方程的解

而它的极点就是如下方程的解

和前面的讨论一样，式(9.133)并没有包括H(s)收敛域的说明，因为该线性常系数微分方程本身没有限制收敛域。然而，如果给出系统有关稳定性或因果性的附加说明，收敛域就可以被推演出来。

例如，如果在系统中强加上初始松弛的条件，它就是因果的，那么收敛域就一定位于最右边极点的右边。

【例9.24】

……

9.7.4 系统特性与系统函数的关系举例

已经看到，诸如因果性和稳定性之类的系统性质，都能直接与系统函数及其特性联系起来。

事实上，已经给出的拉普拉斯变换的每一个性质都能以这种方式用于将系统特性与系统函数联系起来。这一节将用几个例子来说明这一点。

【例9.25】假设一LTI系统输入

在此输入下的输出

则可得到系统函数：

而且，还可以确定系统函数的收敛域。由9.5.6节的卷积性质知道，Y(s)的收敛域至少必须包括X(s)和H(s)的收敛域相交部分。检查一下H(s)的收敛域的三种可能情况：

即极点s = -2的左边，极点-2和极点-1之间，以及极点s = -1的右边。

可见只有Re{s} > -1一种选择才能与X(s)和Y(s)的收敛域相符。因为这个收敛域就是H(s)的最右边极点的右边，因此可得H(s )是因果的。又因为H(s)的两个极点都有负的实部，所以系统又是稳定的。再者，根据式(9.131)和式(9.133)之间的关系，还能给出下列微分方程：

【例9.26】假定关于某个LTI系统已知如下信息，试确定系统函数

根据条件1和条件2可知，系统是不稳定的——因为系统是因果的，而又有一个实部为正的极点在s =4。并且系统函数具有如下形式：

其中p(s)是一个s的多项式。

由于对输入x(t) = 1 = e^0·t的响应y(t)必须等于H(0) ·e^0·t=H(0) ，

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

不懂，Y(s)=H(s)X(s)

y(t)=H(s)x(t)是什么？？？

3.2 线性时不变系统对复指数信号的响应

这里的s、z是常量

，

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

因此由条件3可得p(0)=0，也就是说p(s)必定有一个根在s =0，于是p(s)就应具有

其中q(s)是另一个s多项式。

最后，根据条件4和9.5.10节中的初值定理，可知

若分子的阶次比分母的阶次高，那么这个极限一定发散。因此，对于这个极限要能得到一个有限的非零值，只有sH(s)是分子分母同阶次的情况下才有可能。现在已经知道分母阶次为2，因此要使式(9.138)能成立，q(s)必须是一个常数，即q(s)=K。这个常数可以按如下求出：

令式(9.138)和式(9.139)相等，可见K =4，因此

【例9.27】考虑一个稳定的因果系统，其单位冲激响应为h(t)，系统函数为H(s)。假定H(s)是有理的，有一个极点在s = -2，原点没有零点，其余的极点和零点位置都不知道。对于下列每一种说法，判断是否能肯定地说是对的，是否能肯定地说是错的，或者说由于条件不充分而无法确认它的真实性。

（a）收敛。

（b）

（c）th(t)是一个稳定因果系统的单位冲激响应。

（d）dh(t)/dt在它的拉普拉斯变换中至少有一个极点。

（e）h(t)是有限持续期的。

（f）H(s)= H( - s)。

（g）

分析：

（a）是错的。因为于相应于h(t)的拉普拉斯变换在s = -3的值，如果这个值收敛，那就意味着s = -3在收敛域内。

傅里叶变换收敛 == 拉普拉斯变换的jω在收敛域内

但是，一个稳定因果系统的收敛域总是在它的全部极点的右边，而s = -3不在极点s = -2的右边。

（b）也是错的。因为这等于说H(0)=0，可是已知H(s)在原点没有零点。

拉普拉斯变换公式，令s=0。

（c）这个说法是对的。按表9.1所列的根据9.5.8节得到的性质，th(t)的拉普拉斯变换与H(s)有相同的收敛域，而H(s)的收敛域包括jω轴，因此对应的系统是稳定的。同时，对于t<0，h(t)=0，这意味着对于t<0也有th(t)=0，因此th(t)代表的是一个因果系统的单位冲激响应。

H(s)与H'(s)有相同的收敛域（一阶极点→二阶极点）

（d）这个说法也是对的。因为根据表9.1，dh(t)/dt的拉普拉斯变换为sH(s)，而乘以一个s并没有消去在s = -2的极点。

（e）是错的。如果h(t)是有限持续期的，它的拉普拉斯变换的收敛域就必须是整个s平面。然而H(s)在s = -2已经有极点。

（f）也是错的。倘若这是对的，那么因为H(s)在s = -2有一个极点，那就必须在s=2也有个极点；而对于一个稳定因果系统，其全部极点都一定位于s平面的左半平面，这是相矛盾的。

（g）这个说法的真假由给出的条件无法肯定。因为这种情况要求H(s)分子分母同阶次，但是缺乏足够的条件来判断H(s)是否属于这种情况。

9.7.5 巴特沃思滤波器

……

9.8 系统函数的代数属性与方框图表示

利用拉普拉斯变换可将微分、卷积、时移等这些时域中的运算用代数运算来代替。

时域运算 → 代数运算

我们已经看到这样做在分析线性时不变系统时的很多好处。这一节将要讨论系统函数代数属性的另一个重要应用，即通过分析线性时不变系统的互联及基本系统的构造单元的互联来综合出复杂系统中的应用。

9.8.1 线性时不变系统互联的系统函数

考虑两个系统的并联，如图9.30(a)所示。

总系统的单位冲激响应是

由拉普拉斯变换的线性性质，有

同理，两个系统的级联，如图9.30(b)所示，其单位冲激响应为

系统函数为

通过代数运算，在表示线性系统的互联时利用拉普拉斯变换，可以扩展到远比图9.30这种简单
的并联和级联更为复杂的互联中去。

为此，考虑图9.31所示两个系统的反馈互联。第11章将要详细讨论这类互联系统的设计、应用和分析。尽管在时域中这类系统的分析不是特别简单，但是确定由输入x(t)到输出yt)的总系统函数还是一个直接的代数运算。

具体而言，由图9.31有

和

由此可得

或者

9.8.2 由微分方程和有理系统函数描述的因果线性时不变系统的方框图表示

2.4.3节曾说明过，利用相加、乘以一个系数、积分这些基本运算，可将由一阶微分方程描述的线性时不变系统用方框图来表示。

这三种运算也能用来构造更高阶系统的方框图，本节将用几个例子来给予说明。

【例9.28】考虑一个因果LTI系统函数

由9.7.3节可知，这个系统也能用下列微分方程来描述

具有初始松弛条件。在2.4.3节曾构造出一个方框图表示，如图2.32所示。另一种等效的方框图(相应于图2.32中的a=3和b=1)如图9.32(a)所示。

左右同时积分 ——> 化微分为积分

图中1/s 是一个单位冲激响应为u(t)的系统的系统函数，也就是一个积分器的系统函数。

在图9.32(a)的反馈回路中的系统函数-3就相应于乘以系数-3。

这个方框图所涉及的反馈回路很像上一小节考虑并画在图9.31中的反馈回路，唯一的差别是输入到相加器中的这两个信号在图9.32(a)中是相加的，而在图9.31中是相减的。然而，若在反馈回路中改变相乘系数的符号，所得出的图9.32(b)就与图9.31完全一样了。这样可用式(9.163)证明出

e(t)：系统输入信号——enter

e(t)=x(t) - 3y(t)

【例9.29】考虑一个因果LTI系统函数

由式(9.164)可以想到，这个系统可以看成一个系统函数为1/(s +3)的系统与系统函数为(s+2)的系统的级联结果。如图9.33(a)所示，图中已经用了图9.32(a)的方框图来代表1/(s +3)。

对于式(9.164)的系统，还有可能得到另一种方框图表示。利用拉普拉斯变换的线性和微分性质可知，图9.33(a)中的y(t)和z(t)是由下列方程关联起来的:

然而，输入至积分器的e(t)就是输出z(t)的导数，所以

这样就直接导出了另一种方框图表示，如图9.33(b)所示。

注意，因为

图9.33(a)中的方框图要求z(t)的微分，而与此对照，图9.33(b)并不涉及任何信号的直接微分。

【例9.30】考虑因果二阶系统的系统函数

这个系统的输入x(t)和输出y(t)满足如下微分方程：

采用与前面例子类似的想法，可以得出这个系统的方框图表示，如图9.34(a)所示。

因为，积分器的输入就是积分器输出的导数，所以方框图中各信号关联如下：

同时，将式(9.166)重写成

或者

这是与图9.34( a)所代表的完全相同的。

图9.34(a)中出现的系数可以直接根据系统函数中的系数或等效微分方程中的系数确认出来，所以称这种方框图为直接型表示。

对系统函数进行稍许变化，可以得到实际中很重要的其他方框图表示。特别是，式(9.165)中的H(s)可重写成

这就令人想到能将该系统表示成两个一阶系统的级联。这种级联型表示如图9.34(b)所示。

另外，将H(s)进行部分分式展开，可得

这就产生了并联型表示，如图9.34(c)所示。

【例9.31】考虑如下系统函数

再次利用系统函数的代数属性，可将H(s)写成几种不同的形式，其中每一种都有对应方框图表示。

特别是，能将H(s)写成

因此H(s)可看成图9.34(a)的系统与系统函数为(2s^2+4s -6)的系统的级联。完全就像在例9.29中所做的那样，可以用“抽头”信号的办法把出现在第一个系统积分器输入端的信号抽出来，以提取第二个系统所要求的导数。有关这一详细过程将在习题9.36中讨论，而所得的直接型方框图表示则如图9.35所示。

再一次看到，在直接型表示中，方框图中出现的系数可以直观地由系统函数式(9.167)中的系数来确定。

作为一种替代方式，还能将H(s)写成

或者

其中第一个是一种级联型表示，而第二个则是一种并联型表示。这些都将在习题9.36中讨论。

对于由微分方程和有理系统函数描述的因果线性时不变系统，构造方框图表示的方法都可以用于高阶的系统。另外，往往在如何构成上有很大的灵活性。例如，若将式(9.168)中的分子颠倒一下次序，就可以写成

这又是一种不同的级联型表示。同样，正如在习题9.38中所说明的，一个四阶系统函数可以写成两个二阶系统函数的乘积，而其中每个二阶系统函数又有几种不同的表示方式(如直接型、级联型或并联型)；并且还能写成低阶项的和，而每个低阶项又有几种不同的表示。这样一来，简单的低阶系统就可以作为基本的构造单元，用来实现更复杂的高阶系统。