arcsin x
✅ 一、导数公式
d d x arcsin x = 1 1 − x 2 , 定义域 x ∈ ( − 1 , 1 ) \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad \text{定义域 } x \in (-1, 1) dxdarcsinx=1−x21,定义域 x∈(−1,1)
✅ 二、泰勒展开式（Taylor Expansion）
函数 arcsin x \arcsin x arcsinx 在 x = 0 x = 0 x=0 处的泰勒展开为：
arcsin x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 , ∣ x ∣ ≤ 1 \arcsin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}, \quad |x| \le 1 arcsinx=n=0∑∞4n(n!)2(2n+1)(2n)!x2n+1,∣x∣≤1
也可以写出前几项：
arcsin x = x + 1 6 x 3 + 3 40 x 5 + 5 112 x 7 + 35 1152 x 9 + ⋯ \arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + \frac{35}{1152}x^9 + \cdots arcsinx=x+61x3+403x5+1125x7+115235x9+⋯
✅ 三、简要推导（可选）
该级数来自于：
1 1 − x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) x 2 n 4 n \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} \frac{x^{2n}}{4^n} 1−x21=n=0∑∞(n2n)4nx2n
对它逐项积分就得到 arcsin x \arcsin x arcsinx 的泰勒级数。
如果你还想要 arcsin x \arcsin x arcsinx 的渐近展开、误差估计或者在特定点（如 x = 1 2 x = \frac{1}{2} x=21）的逼近结果，我也可以继续给出。需要吗？