人工智能之数学基础:如何将二次型转换为标准型？

本文重点

二次型是线性代数中的核心概念，其标准型形式在简化问题、揭示几何特征和物理本质方面具有关键作用。理解其转换方法与实际意义，是掌握线性代数应用的关键一步。

标准二次型

二次型的标准型形如下：

仅含平方项。转换标准型的过程等价于通过非退化线性变换将矩阵 A 对角化。

转换为标准型的三种方法

1、正交变换法

2、配方法

3、初等变换法

二次型转换为标准型的方法各有适用场景

正交变换法：适用于需要保持几何性质（如长度、角度）不变的问题；
配方法：适合低维或含明显平方项的二次型；
初等变换法：便于手动计算且直观展示变换过程。

配方法

原理：通过逐步消去交叉项，将二次型配方为平方项之和。