电子电路原理第十八章(有源滤波器)

几乎所有通信系统中都会使用滤波器。滤波器使某一频带的信号通过，同时阻止另一频带的信号通过。滤波器分为无源和有源两种。无源滤波器由电阻、电容和电感构成。通常用于频率高于1MHz 的场合，没有功率增益，调谐相对较困难。有源滤波器由电阻、电容和运算放大器构成。通常用于频率低于1MHz的场合，有功率增益，易于调谐。滤波器可以将所需信号从无用信号中分离出来，抑制干扰信号，加强语音和视频信号，并以其他方式改变信号。

18.1 理想频率响应

本章对各种无源和有源滤波器电路进行综合介绍。18.1～18.4节介绍基本滤波器术语和一阶滤波器。18-5节及以后章节内容包括高阶滤波器的详细电路分析。

滤波器的频率响应是电压增益随频率变化的特性曲线。滤波器分为五种类型：低通、 高通、带通、带阻和全通。本节分别讨论它们的理想频率响应特性。下一节论述理想响应的逼近的响应特性。

18.1.1  低通滤波器

图18-1所示是低通滤波器的理想频率响应。因为矩形的右侧边界看上去像一面砖墙， 所以又叫作砖墙响应。低通滤波器可以使零到截止频率之间的信号通过，阻止所有高于截止频率的信号通过。

对于低通滤波器，零到截止频率之间的部分称为通带，高于截止频率的部分称为阻带，通带和阻带之间的曲线下降区域称为过渡带。理想低通滤波器在通带内没有衰减(信号损失),在阻带内的衰减为无穷大，且具有垂直的过渡带。

另外，理想低通滤波器在通带内的相移为零。当输入信号为非正弦波时，零相移是很重要的。当非正弦波信号通过理想滤波器时，其信号的形状不变。例如，当输入信号为方波时，其中含有基波和各次谐波，如果基波和所有主要的谐波(近似为前10阶)都在通带内，则可得到波形近似的方波输出。

18.1.2   高通滤波器

图18-2所示是高通滤波器的理想频率响应。 高通滤波器阻止零到截止频率之间的所有信号，同时使所有高于截止频率的信号通过。

对于高通滤波器，零到截止频率之间的部分为阻带，高于截止频率的部分为通带。理想高通滤波器在阻带内的衰减为无穷大，在通带内的衰减为零，且具有垂直的过渡带。

18.1.3   带通滤波器

带通滤波器可用于收音机或电视机的信号调谐，也可用于电话通信设备，实现同一信道中同时传输的不同通话的分离。

图18-3所示是带通滤波器的理想频率响应。 响应阻止零到下限截止频率以及高于上限截止频率的信号，同时使处于两个截止频率之间的信号通过 。

对于带通滤波器，处于上限和下限两个截止频率之间的部分是通带。低于下限截止频率和高于上限截止频率的部分是阻带。理想带通滤波器在通带内的衰减为零，在阻带内的衰减为无穷大，且具有两个垂直的过渡带。

带通滤波器的带宽 (BW) 是3dB的上限截止频率和下限截止频率之差：

                                BW=f₂-f₁                                        

18.1.4   带阻滤波器

图18-4所示是带阻滤波器的理想频率响应。这类滤波器使零到下限截止频率以及高于上限截止频率的信号通过，同时阻止处于两个截止频率之间的信号通过。

对于带阻滤波器，下限截止频率和上限截止频率之间的部分是阻带。低于下限截止频率和高于上限截止频率的部分是通带。理想带阻滤波器在通带内的衰减为零，在阻带内的衰减为无穷大，且有两个垂直的过渡带。

对带宽、窄带、中心频率的定义与前文一样。 对于带阻滤波器，可利用式(18 - 1)~(18 - 3)来计算 BW、f。和Q。带阻滤波器有时又称作陷波器，因为它将阻带内所有频率的信号阻止或者去除。

18.1.5   全通滤波器

图18-5所示是理想全通滤波器的频率响应。它只有通带，没有阻带。因此，零到无穷大频率的信号都可以通过。称之为滤波器有些不确切，因为它在全频带内都没有衰减。但这样命名的原因是考虑了它对所通过的信号在相位上的影响。当需要对输入信号进行相移而又不改变其幅度时，就需要用到全通滤波器。

滤波器的相位响应是相移随频率变化的特性曲线。如前所述，理想低通滤波器在全频带内的相位响应均为0°。因此，当一个非正弦信号通过理想低通滤波器，如果它的基波和各阶主要谐波在通带内，则其输出波形不变。

全通滤波器的相位响应与理想低通滤波器不同。对于全通滤波器，当信号通过滤波器时，每一频率处的信号都可以有一定量的相移。例如，在18.3节论述的移相器是一个同相运放电路，在全频带内零衰减，但是输出相位在0～-180°之间。移相器是全通滤波器的简单例子。后续章节中将论述可产生更大相移的较复杂的全通滤波器。

知识拓展  可将无源低通和高通滤波器组合起来，实现带通或带阻滤波。

18.2    频率响应的逼近方式

前一节论述的理想频率响应在实际电路中是不可能实现的，作为理想响应的折中方案，可以采用特性逼近的方式。有五种标准逼近方法，每一种都有各自的优点。逼近方法的选择需要依赖于实际应用所能接受的情况。

18.2.1   衰减

衰减是指信号的损失。定义为当输入电压恒定时，任一频率的输出电压除以中频区的输出电压：

例如，某频率处的输出电压为1V,   中频区某频率处的输出电压为2V,   则 ：

衰减通常用分贝来表示，使用如下公式：

衰减(dB)=20lg    衰减 

例如，若衰减等于0.5,则用分贝表示的衰减为：

衰减 = -20lg0.5=6dB

由于分贝表示的衰减表达式中有负号，衰减通常是正数。分贝表示的衰减以中频输出电压作为参考，将任意频率下的输出电压与滤波器中频输出电压作比较。由于衰减通常用分贝来表示，所以本书中的衰减均指衰减的分贝数。

例如，3dB的衰减意味着输出电压是中频输出电压的0.707倍；6dB的衰减意味着输出电压是中频输出电压的0.5倍；12dB的衰减意味着输出电压是中频输出电压的0.25倍；20dB的衰减意味着输出电压是中频输出电压的0.1倍。

18.2.2  通带和阻带衰减

在滤波器的分析和设计中，低通滤波器是原型电路，可以在对其进行修改后构成其他电路。任何滤波器的问题一般都可转化为等价的低通滤波器的问题，并当作低通滤波器的问题来解决。因此，这里集中讨论低通滤波器，然后扩展到其他滤波器。

理想特性是在通带内零衰减，阻带内衰减无穷大，且有垂直的过渡带，这些是不可能实现的。在设计实际的低通滤波器时，将三个区域的特性近似表示于图18-6。通带在0到f. 之间，阻带的频率高于f, 过渡带在 f。和 f, 之间。

在图18-6中，通带不再具有零衰减特性，而是允许衰减范围在0～A, 之间。例如，有些应用中允许的通带衰减为A,=0.5dB。这意味着允许在通带内有0.5dB的信号损失。

类似地，阻带也不再具有无穷大的衰减，而是允许衰减在A, 到无穷大之间。例如，有些应用中衰减为 A,=60dB就足够了。这意味着阻带内衰减在60dB是可接受的。

图18-6中的过渡带不再是垂直的，而是允许非垂直的下降，下降速度由f、f、A。和A,  的值决定。例如，当f=1kHz,f=2kHz,A,=0.5dB,A,=60dB时，要求下降速度近似为60dB/ 十倍频程。

后文将要讨论的是这五种滤波器的逼近响应特性在通带、阻带和过渡带的折中。逼近特性可能优化的是通带的平坦度、过渡带的下降速度或相移特性。

最后要说明一点：低通滤波器通带内的最高频率叫作截止频率(f), 由于它是通带边界，又称为边缘频率。有些滤波器在边缘频率处的衰减小于3dB,   因此使用f3aB作为衰减下降3dB时的频率，使用f。作为边缘频率，边缘频率的衰减不一定是3dB。

18.2.3  滤波器的阶数

无源滤波器的阶数 (表示为n) 等于滤波器中电感和电容的数目。如果无源滤波器有两个电感和两个电容，则n=4; 如果有五个电感和五个电容，则n=10。因此，滤波器的阶数说明了滤波器的复杂程度，阶数越高，滤波器越复杂。

有源滤波器的阶数取决于滤波器中包含的RC电路(又称极点)的数目。如果一个有 源滤波器包含八个RC 电路，则n=8。 在有源滤波器中数出单独的RC电路通常比较困难。因此，可以使用简单的方法来确定有源滤波器的阶数：

n≈#  电容            

符号“#”代表“……的数目”。例如，若含有12个电容，则它的阶数是12。

公式(18- 4)只是一个指导方法。由于数的是电容，而不是RC电路，所以可能有例外情况。除此之外，公式(18-4)给出了 一种快速简便的确定有源滤波器阶数或极点数的方法。

18.2.4   巴特沃斯逼近

巴特沃斯逼近有时又叫作最大平坦逼近，其通带内大部分区域的衰减为零，到通带的边界时逐渐衰减到Ap。超过边缘频率后，响应特性以20ndB/十倍频程的速度下降，其中n是滤波器阶数：

下降速度=20ndB/ 十倍频程 

下降速度用倍频程的等效表示为：

下降速度=6ndB/ 倍频程 

例如，一阶巴特沃斯滤波器的下降速度是20dB/十倍频程，或6dB/ 倍频程；四阶巴特沃斯滤波器的下降速度是80dB/十倍频程，或24dB/倍频程； 九阶巴特沃斯滤波器的下降速度是180dB/十倍频程，或54dB/倍频程，等等。

图18-7所示是一个巴特沃斯低通滤波器的频率响应，滤波器的指标为：n=6,A,=2.5dB,f.=1kHz。 这些指标表明这是一个六阶或六个极点的滤波器，通带衰减为2.5dB,   且边缘频率为1kHz。图18-7中频率轴的数字简写为：

2E3=2×10³=2000  (说明：E代表指数)。

巴特沃斯滤波器的主要优点是通带响应非常平坦，主要缺点是过渡带的下降速度相对较慢。

18.2.5   切比雪夫逼近

在一些应用中，平坦的通带响应并不重要。在这种情况下，切比雪夫逼近可能是更好的选择。因为它在过渡带的下降速度比巴特沃斯滤波器更快。获得较快下降速度的代价是通带响应出现了纹波 。

图18-8a所示是一个切比雪夫低通滤波器的响应，滤波器的指标为：n=6,A,=2.5dB,f=1kHz。这些指标和之前巴特沃斯滤波器的指标相同。对比图18-7和图18-8a,  可以看出，相同阶数的切比雪夫滤波器的过渡带下降更快。因此，切比雪夫滤波器通常比相同阶数的巴特沃斯滤波器的衰减更大。

切比雪夫低通滤波器通带内纹波的数目等于滤波器阶数的一半：

如果滤波器是10阶，则通带有5个纹波；如果是15 阶，则通带有7.5个纹波。图18-8b显示的是放大的20阶切比雪夫滤波器的响应，通带内有10个纹波。

图18-8b中，纹波的峰峰值相同，因此切比雪夫逼近有时又叫作等纹波逼近。根据应用的需要，纹波深度通常设计为0.1~3dB之间。

18.2.6   反切比雪夫逼近

有些应用中既需要平坦的通带响应，同时也需要快速下降的过渡带，这时可以使用反切比雪夫逼近。它的通带响应特性平坦，并且阻带响应有纹波。其过渡带的下降速度与切比雪夫滤波器相近。

图18-9所示是一个反切比雪夫低通滤波器的响应，滤波器的指标为：n=6,A,=2.5dB,f.=1kHz。对比图18-9、图18-7及图18-8a, 可以看到，反切比雪夫滤波器的通带平坦、过渡带下降快、阻带有纹波。

单调是指阻带没有纹波。在目前所讨论的各种逼近中，巴特沃斯和切比雪夫滤波器具有单调的阻带。反切比雪夫滤波器的阻带有纹波。

例如，在图18-9中，反切比雪夫滤波器的阻带衰减为60dB 。可以看到，纹波在阻带的不同频率处确实达到了这一衰减值。

图18-9所示的反切比雪夫滤波器频率响应在阻带的某些频率处出现了陷波特性，即阻带的某些频率处的衰减为无穷大。

18.2.7  椭圆逼近

有些应用需要过渡带的下降速度最快。如果允许在通带和阻带有纹波，则可以选择椭圆逼近，又称为考尔滤波器。它是以牺牲通带和阻带的性能来得到过渡带的优化性能。

图18-10所示是一个椭圆低通滤波器的响应， 滤波器的指标为：n=6,A,=2.5dB,f.=1kHz。

可以看到，椭圆滤波器的特性是通带有纹波、过渡带下降非常快、阻带有纹波。从边缘频率起，频率响应初始下降非常快，在过渡带的中间稍微减缓，然后又变得很陡，直至过渡带的终点。对复杂的滤波器来说，对给定的指标，椭圆逼近是阶数最少的，所以是最有效率的设计。

例如，假设给定指标为：A,=0.5dB,f=1kHz,A,=2.5dB和 f.=1.5kHz。每一种逼近需要的阶数或极点数为：巴特沃斯(20),切比雪夫(9),反切比雪夫(9),椭圆 (6)。也就是说，椭圆滤波器需要的电容最少，其电路实现最简单。

18.2.8  贝塞尔逼近

贝塞尔逼近和巴特沃斯逼近相似，有平坦的通带、单调的阻带。相同阶数时，贝塞尔滤波器过渡带下降速度比巴特沃斯滤波器慢<