统计学（第8版）——方差分析Ⅰ（考试用）

一、方差分析的基本概念与原理

1.1 方差分析的目的与作用

• 核心问题：判断某个（或某些）因素对产品指标是否有显著影响，即检验因素作用下指标均值是否相等。

• 应用场景：如农作物收获量受品种、肥料影响；生产线维修时间受型号影响等。

• 核心思想：将总偏差平方和分解为 “因素水平引起的波动” 和 “随机因素引起的波动”，通过比较两者大小进行统计判断。

1.2 基本概念

• 因素：可控制的实验条件（如生产线型号、肥料种类）。

• 水平：因素的不同等级（如型号 A、B、C）。

• 单因素试验：仅一个因素变化，其他条件不变。

• 双因素试验：两个因素同时变化（后续展开）。

1.3 数学模型与数据结构

• 模型假设：在水平 $A_i$ 下，观测值 $Y_{ij}$ 满足：

其中 ${\mu }_i$ 为 $A_i$ 下的真值，${\epsilon }_{ij}$ 为随机误差，且 ${\epsilon }_{ij}\sim N(0,{\sigma }^2)$，$Y_{ij}\sim N({\mu }_i,{\sigma }^2)$。

• 效应分解：将 ${\mu }_i$ 分解为一般平均 $\mu$ 和水平效应 ${\alpha }_i$：

${\mu }_i=\mu +{\alpha }_i({\sum }_{i=1}^k{\alpha }_i=0)$

模型可写为：

$Y_{ij}=\mu +{\alpha }_i+{\epsilon }_{ij}$

二、单因素方差分析的详细步骤

2.1 参数点估计（最小二乘法）

• 估计量推导：通过最小化偏差平方和 ${\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=1}^m(Y_{ij}-\mu -{\alpha }_i{)}^2$，得：

$\hat{\mu }=\bar{Y}=\frac{1}{km}{\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=1}^m{Y}_{ij},{\hat{\alpha }}_i={\bar{Y}}_i-\bar{Y},{\hat{\mu }}_i={\bar{Y}}_i$

其中 ${\bar{Y}}_i=\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^m{Y}_{ij}$。

• 误差估计：${\hat{\epsilon }}_{ij}=Y_{ij}-{\bar{Y}}_i$。

2.2 偏差平方和分解定理

• 总偏差平方和：

$S_T={\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=1}^m(Y_{ij}-\bar{Y}{)}^2$

• 效应平方和（组间）：

$S_A=m{\sum }_{i=1}^k({\bar{Y}}_i-\bar{Y}{)}^2$

• 误差平方和（组内）：

$S_E={\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=1}^m(Y_{ij}-{\bar{Y}}_i{)}^2$

• 分解公式：

$S_T=S_A+S_E$

• 自由度：

$f_T=km-1,f_A=k-1,f_E=k(m-1),f_T=f_A+f_E$

2.3 显著性检验（F 检验）

• 假设：

• 统计量：

$F=\frac{S_A/f_A}{S_E/f_E}\sim F(f_A,f_E)$

• 决策：若 $F>F_{\alpha }(f_A,f_E)$，拒绝 $H_0$，否则接受。

2.4 方差分析表（标准格式）

方差来源	平方和	自由度	均方	F 比
组间（A）	$S_A$	$k-1$	$M{S}_A=S_A/(k-1)$	$F=M{S}_A/M{S}_E$
组内（E）	$S_E$	$k(m-1)$	$M{S}_E=S_E/[k(m-1)]$
总和	$S_T$	$km-1$

三、例题详解：生产线维修时间差异分析

3.1 问题背景

调查 6 种型号生产线的维修时间（每种 4 条），数据如下：

型号	维修时间（小时）	总和 $T_i$	$T_i^2$
A 型	9.5, 8.8, 11.4, 7.8	37.5	1406.25
B 型	4.3, 7.8, 3.2, 6.5	21.8	475.24
C 型	6.5, 8.3, 8.6, 8.2	31.6	998.56
D 型	6.1, 7.3, 4.2, 4.1	21.7	470.89
E 型	10.0, 4.8, 5.4, 9.6	29.8	888.04
F 型	9.3, 8.7, 7.2, 10.1	35.3	1246.09
总计	-	$T=177.7$	$\sum T_i^2=5485.07$

3.2 计算过程

1. 效应平方和 ：

$S_A=\frac{1}{m}\sum T_i^2-\frac{T^2}{km}=\frac{5485.07}{4}-\frac{177.7^2}{24}=55.55$

1. 误差平方和 ：

$S_E=\sum Y_{ij}^2-\frac{1}{m}\sum T_i^2=1427.99-1371.27=56.72$

1. 自由度：

$f_A=5,f_E=18$

1. 均方与 F 值：

$M{S}_A=11.11,M{S}_E=3.15,F=\frac{11.11}{3.15}\approx 3.53$

1. 决策：$\alpha =0.05$ 时，$F_{0.05}(5,18)=2.77$，因 $3.53>2.77$，拒绝 $H_0$，即各型号维修时间有显著差异。

3.3 方差分析表

方差来源	平方和	自由度	均方	F 比
组间（A）	55.55	5	11.11	3.53
组内（E）	56.72	18	3.15
总和	112.27	23

四、做题技巧总结

4.1 方差分析四步法

1. 假设：$H_0$（效应为零）与 $H_1$（至少一效应非零）。

2. 计算平方和与自由度（画表）：

• $S_T=\sum \sum (Y_{ij}-\bar{Y}{)}^2$, $f_T=km-1$

• $S_A=m\sum ({\bar{Y}}_i-\bar{Y}{)}^2$, $f_A=k-1$

• $S_E=S_T-S_A$, $f_E=k(m-1)$

1. 构造 F 统计量：$F=\frac{S_A/f_A}{S_E/f_E}$，查临界值。

2. 决策：$F>F_{\alpha }$ 拒绝 $H_0$。

4.2 关键公式记忆

• 平方和分解：$S_T=S_A+S_E$。

• 自由度关系：$f_T=f_A+f_E$。

• F 统计量：组间均方 / 组内均方。

4.3 计算表格化技巧

型号	$Y_{ij}$	$Y_{ij}^2$	$T_i$	$T_i^2$	${\bar{Y}}_i$
A 型	…	…	37.5	1406.25	9.375
…	…	…	…	…	…
总计	-	$\sum Y_{ij}^2=1427.99$	$T=177.7$	$\sum T_i^2=5485.07$	$\bar{Y}\hat{a}‰ˆ7.40$

五、PPT 新增例题：酸液浓度对汗布冲击强力的影响

5.1 问题背景

某厂研究晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/L）对汗布冲击强力的影响，测试 3 种浓度（A1、A2、A3），每种浓度重复 6 次试验，数据如下：

浓度	冲击强力（单位）
A1	16.2, 15.1, 15.8, 14.8, 17.1, 15.0
A2	17.5, 17.1, 15.9, 18.4, 17.7, 16.8
A3	20.5, 19.7, 19.0, 20.1, 18.9, 18.2

目的：检验酸液浓度对冲击强力是否有显著影响（α=0.05）。

5.2 数据整理与中间计算

表 1：原始数据与组统计量

浓度	观测值 $Y_{ij}$	组和 $T_i$	组均值 ${\bar{Y}}_i$	组内平方和 $\sum (Y_{ij}-{\bar{Y}}_i{)}^2$
A1	16.2, 15.1, 15.8, 14.8, 17.1, 15.0	$16.2+15.1+...+15.0=94$	$94/6\hat{a}‰ˆ15.67$	4.54
A2	17.5, 17.1, 15.9, 18.4, 17.7, 16.8	$17.5+17.1+...+16.8=103.4$	$103.4/6\hat{a}‰ˆ17.23$	3.82
A3	20.5, 19.7, 19.0, 20.1, 18.9, 18.2	$20.5+19.7+...+18.2=116.4$	$116.4/6=19.4$	5.84
总计	-	$T=94+103.4+116.4=313.8$	$\bar{Y}=313.8/18\hat{a}‰ˆ17.43$	$S_E=4.54+3.82+5.84=14.2$

5.3 平方和与自由度计算

1. 总偏差平方和 ：

$S_T=\sum Y_{ij}^2-\frac{T^2}{km}=5535.8-\frac{313.8^2}{18}\hat{a}‰ˆ65.66$

1. 效应平方和：

$S_A=6\tilde{A}—[(15.67-17.43{)}^2+(17.23-17.43{)}^2+(19.4-17.43{)}^2]=42.12$

1. 自由度：

$f_T=17,f_A=2,f_E=15$

5.4 方差分析表与决策

方差来源	平方和	自由度	均方	F 值	$F_{0.05}(2,15)$	决策
组间（浓度）	42.12	2	21.06	22.41	3.68	拒绝 $H_0$
组内（误差）	14.2	15	0.95
总和	65.66	17

结论：酸液浓度对汗布冲击强力有显著影响。