初等数论--欧几里得算法

1. 定义

$u_0{u}_1\in Z,u_1\ne 0,u_1\nmid u_0$

根据带余除法可得下面一系列等式
$$\begin{array}{rl}{u}_0& =q_0{u}_1+u_{2}0<u_2<|u_1|\\ u_1& =q_0{u}_2+u_{3}0<u_3<u_2\\ \cdots & \\ u_{k-1}& =q_{k-1}{u}_k+u_{k+1}0<u_k<u_k\\ u_k& =q_k{u}_{k+1}\end{array}$$

我们可以得到
$$0<u_{k+1}<u_k<\cdots <u_2<|u_1|$$
由于小于$|u_1|$的正整数只有有限个，所以上面的过

程必定有限。

也就是要么$1\ne u_{k+1}\mid u_k$, 要么$1=u_{k+1}\mid u_k$。

2. 结论

2.1 最大公因数

$u_{k+1}$为$u_0{u}_1$的最大公因数。

引理1
$$\begin{gathered} \forall a,b\in Z\Rightarrow \\ \forall x\in Z,\gcd (a,b)=\gcd (a,b+ax) \end{gathered}$$

运用该引理我们可以得到
$$\begin{gathered} \gcd (u_0,u_1)=\gcd (u_1,u_2)=\cdots = \\ \gcd (u_k,u_{k+1})=u_{k+1} \end{gathered}$$

2.2 裴祖系数的存在性

$$\begin{gathered} \exists x_0,x_1\in Z,s.t. \\ {x}_0{u}_0+x_1{u}_1=\gcd (u_0,u_1)=u_{k+1} \end{gathered}$$
根据辗转相除法的等式，我们可以从直觉上看出$u_0,u_1$的线性组合可以表示$u_{k+1}$。

我们可以观察到下面的递推式：

$$\left[\begin{array}{c}{u}_{t+1}\\ u_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-q_{t-1}& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_t\\ u_{t-1}\end{array}\right]$$

因此容易得到
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{u}_{k+1}\\ u_k\end{array}\right]= \\ \left[\begin{array}{cc}-q_{k-1}& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\cdots \left[\begin{array}{cc}-q_0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_0\end{array}\right] \end{gathered}$$

2.2 引理1证明

首先$gcd(a,b)=gcd(-a,b)=gcd(a,-b)=gcd(|a|,|b|)$。

因此我们只需要考虑$a,b>0$的情况。

容易得到$gcd(a,b)<\min (a,b)$，

又$gcd(ax,a)=a$，即$\forall d\mid a\Rightarrow d\mid ax$.

因此 $\forall d\mid a,d\mid b+ax\iff \forall d\mid a,d\mid b$

即$gcd(a,b)=gcd(a,b+ax)$

3. 实现

• 递归

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

• 迭代

int gcd_fast(int a, int b) {

    while (b) {
        int tmp = b;
        b = a % b;
        if (2 * b > tmp)
            b = tmp - b;
        a = tmp;
    }
    

    return a;
}

参考

初等数论