卷积核、FIR滤波器与LTI系统——一回事

禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理（面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材）》

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三、四、五这三章之间的关系
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲3卷积核（空域滤波器）
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲4FIR滤波器（频域滤波器设计）
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲5LTI系统（图像复原）
这三部分实际上讲的是同一件事，都是LTI系统，对应线性卷积。

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KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲3卷积核和KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲4FIR滤波器之间的桥梁是卷积定理，时域卷积对应频域滤波。频域滤波器设计是利用频域设计滤波器，而不是说在频域滤波。FIR滤波器是在空域滤波器上定义的。

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲5LTI系统

假设原始图像$f(x,y)$，通过一个点扩散函数$h(x,y)$（通常是模糊），并且观测的图像是$g(x,y)$。数学上，这个过程可以用卷积来表示

$$g(x,y)=(f\ast h)(x,y)+\eta (x,y)$$

其中，$\ast$表示卷积操作，$\eta (x,y)$表示加性噪声。

图像复原通常解决去模糊问题。这是因为系统通常造成高频截止。但是图像滤波也常用锐化滤波。

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离散时间系统与数字滤波器

离散时间系统与数字滤波器的概念等效。

概念	数字滤波器中的名称	离散时间系统中的名称	数学表示
系统对脉冲的响应	卷积核（FIR滤波器）	单位脉冲响应$h[n]$	$h[n]$（相同的数学表达式） 两者是同一序列$h[n]$的不同称呼。
作用	用于计算输出信号的加权和	描述系统动态特性的完整表征	输出$y[n]=x[n]\ast h[n]$

FIR滤波器：$h[n]$有限长，卷积核与单位脉冲响应本质是同一概念（$h[n]$）。

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• 数字滤波器 更关注 实现，因此直接称系数为“卷积核”或“滤波器抽头（Taps）”。
• 离散时间系统 更关注 ** 系统分析**，因此用“单位脉冲响应”描述系统特性。

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图像滤波与图像复原

在信号处理中，图像滤波（Image Filtering） 和 图像复原（Image Restoration） 是两个相关但目标相反的任务。它们的核心区别在于 已知量 和 求解目标 的不同。

一、图像滤波（Image Filtering）

1. 定义

图像滤波是指给定原始图像$x$和滤波器（或卷积核）$h$，通过某种运算得到输出图像$y$的过程。

2. 数学表达

$$y=h\ast x\text{（卷积）}$$
或者更一般地
$$y=Hx\text{（线性系统表示）}$$

其中

• $x$：输入图像（清晰/原始图像）
• $h$：滤波器（如高斯滤波、均值滤波、Sobel算子等）
• $y$：滤波后的输出图像
• $\ast$表示卷积操作

3. 目标

• 去噪（如使用均值滤波、高斯滤波）
• 边缘检测（如使用 Sobel、Prewitt 等滤波器）
• 图像增强（如锐化（Unsharp Masking）、模糊）

4. 特点

• 正向问题：已知输入和系统，求输出
• 通常是线性操作（如卷积）
• 是图像复原的基础步骤之一

图像滤波例子

• 使用一个高斯滤波器$h$对图像$x$进行平滑，得到模糊图像$y$
• 使用 Sobel 滤波器对图像$x$提取边缘，得到边缘图$y$

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二、图像复原（Image Restoration）（Inverse Problem）

1. 定义

图像复原是指在已知退化图像$y$的情况下，尝试恢复出原始图像$x$，有时还需要估计退化系统$h$。

2. 数学表达

$$y=h\ast x+\eta \text{（含噪声的退化模型）}$$
或者
$$y=Hx+\eta$$

其中

• $y$：观测到的退化图像（如模糊+噪声）
• $h$或$H$：未知或部分已知的退化系统（如模糊核）
• $x$：原始图像（需要恢复的目标）
• $\eta$：加性噪声（如高斯噪声）

3. 目标

• 去除模糊（Deblurring）
• 去噪（Denoising）
• 超分辨率（Super-resolution）
• 恢复清晰图像

4. 分类

• 非盲复原（Non-blind restoration）：已知模糊图像$y$，且知道模糊核$h$，求原始图像$x$
• 盲复原（Blind restoration）：已知模糊图像$y$，但不知道模糊核$h$，要求同时恢复$x$和$h$

两类子问题

(1) 非盲复原（已知$h$，求$x$）
模型
$$y=x\ast h+n\text{（已知y和h，求x）}$$
方法

• 逆滤波（Inverse Filtering）
  $$\hat{X}(u,v)=\frac{Y(u,v)}{H(u,v)}\text{（对噪声敏感）}$$
• 维纳滤波（Wiener Filter）
  $$\hat{X}(u,v)=\frac{H^{\ast }(u,v)}{|H(u,v){|}^2+\frac{S_n(u,v)}{S_x(u,v)}}Y(u,v)$$
  （$S_n$、$S_x$为噪声和信号的功率谱）。

(2) 盲复原（未知$h$，联合求$x$和$h$）
模型
$$y=x\ast h+n\text{（已知y，求x和h）}$$
方法

• 交替最小化（如 Richardson-Lucy 算法）
  $$h\leftarrow h\cdot \left(\frac{y}{x\ast h}\ast x\right),x\leftarrow x\cdot \left(\frac{y}{x\ast h}\ast h\right)$$
• 深度学习方法（如 CNN 估计$h$和$x$）。

5. 核心挑战

1. 图像复原的病态性
   • 解不唯一（如$h$和$x$的多种组合可生成相同的$y$）。
   • 对噪声敏感（高频信息丢失时，逆滤波会放大噪声）。
2. 盲复原的复杂性
   • 需额外约束（如$h$的稀疏性、$x$的平滑性）。

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三、总结

• 图像滤波 是 从$x$和$h$到$y$ 的确定性过程。
• 图像复原 是 从$y$反推$x$或$h$ 的逆问题，需结合先验知识或数据驱动方法。

	图像滤波	图像复原
问题类型	正向问题（卷积）	逆向问题（反卷积）
输入	原始图像$x$和滤波器$h$	退化图像$y$（可能包含噪声）
输出	滤波后的图像$y$	恢复的原始图像$x$，有时包括$h$
数学模型	$y=h\ast x$	$y=h\ast x+n$
是否有噪声	通常不考虑噪声	通常考虑噪声存在
运算方向	正向问题（输入→输出）	逆问题（输出→输入）
难度	简单（直接卷积）	复杂（病态逆问题，需正则化或先验）
应用场景	图像增强、特征提取	图像去噪、去模糊、超分辨