2025年全国I卷数学压轴题解答

第19题第3问: $b$ 使得存在 $t$, 对于任意的 $x$, $5\cos x-\cos (5x+t)<b$, 求 $b$ 的最小值.

解:

$b$ 的最小值 $b_{min}={\min }_t{\max }_{x}g(x,t)$, 其中 $g(x,t)=5\cos x-\cos (5x+t)$.

下面先求解 ${\max }_{x}g(x,t)$.

构造关于变元 $x$ 的辅助函数 $h(x)=g(x,t)$.

则 ${\max }_{x}g(x,t)={\max }_{x}h(x)$.

$h^{\prime }(x)=-5\sin x+5\sin (5x+t)$.

求解以下方程得到极值点:

$2k\pi +x=5x+t$, $k\in \mathbb{Z}$.

$x=\frac{2k\pi -t}{4}$.

$(2k+1)\pi -x=5x+t$.

$x=\frac{(2k+1)\pi -t}{6}$.

max ⁡ x h ( x ) = max ⁡ { max ⁡ k [ 5 cos ⁡ ( k π 2 − t 4 ) − cos ⁡ ( 5 k π 2 − t 4 ) ] , max ⁡ k [ 5 cos ⁡ ( ( 2 k + 1 ) π 6 − t 6 ) − cos ⁡ ( ( 10 k + 5 ) π 6 + t 6 ) ] } \max_{x} h(x)=\max \{\max_{k}[5 \cos (\frac{k\pi}{2}-\frac{t}{4}) - \cos (\frac{5k\pi}{2}-\frac{t}{4})], \max_{k} [5 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6}) - \cos (\frac{(10k+5)\pi}{6}+\frac{t}{6})]\} maxx​h(x)=max{maxk​[5cos(2kπ​−4t​)−cos(25kπ​−4t​)],maxk​[5cos(6(2k+1)π​−6t​)−cos(6(10k+5)π​+6t​)]}

显然 $h(x)$ 的图像以 $2\pi$ 为周期, 且满足性质 $h(x)=-h(x+\pi )$, 所以它的每个极大值的相反数必然是极小值, 反之亦然. 对所有的极值取绝对值, 正极值不变, 负的极值变成正的极值, 并不影响结果. 由此得到:

max ⁡ x h ( x ) = max ⁡ { max ⁡ k ∣ 5 cos ⁡ ( k π 2 − t 4 ) − cos ⁡ ( 5 k π 2 − t 4 ) ∣ , max ⁡ k ∣ 5 cos ⁡ ( ( 2 k + 1 ) π 6 − t 6 ) − cos ⁡ ( ( 10 k + 5 ) π 6 + t 6 ) ∣ } \max_{x} h(x)=\max \{\max_{k}|5 \cos (\frac{k\pi}{2}-\frac{t}{4}) - \cos (\frac{5k\pi}{2}-\frac{t}{4})|, \max_{k} |5 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6}) - \cos (\frac{(10k+5)\pi}{6}+\frac{t}{6})|\} maxx​h(x)=max{maxk​∣5cos(2kπ​−4t​)−cos(25kπ​−4t​)∣,maxk​∣5cos(6(2k+1)π​−6t​)−cos(6(10k+5)π​+6t​)∣}

其中:

$5\cos (\frac{k\pi }{2}-\frac{t}{4})-\cos (\frac{5k\pi }{2}-\frac{t}{4})=4\cos (\frac{k\pi }{2}-\frac{t}{4})$,

$\cos (\frac{(10k+5)\pi }{6}+\frac{t}{6})=\cos (\frac{(-10k-5)\pi }{6}-\frac{t}{6})=-\cos (\frac{(-10k-5)\pi }{6}-\frac{t}{6}+(2k+1)\pi )=-\cos (\frac{(2k+1)\pi }{6}-\frac{t}{6})$.

$5\cos (\frac{(2k+1)\pi }{6}-\frac{t}{6})-\cos (\frac{(10k+5)\pi }{6}+\frac{t}{6})=6\cos (\frac{(2k+1)\pi }{6}-\frac{t}{6})$.

所以 max ⁡ x g ( x , t ) = max ⁡ x h ( x ) = max ⁡ { max ⁡ k ∣ 4 cos ⁡ ( k π 2 − t 4 ) ∣ , max ⁡ k ∣ 6 cos ⁡ ( ( 2 k + 1 ) π 6 − t 6 ) ∣ } \max_{x}g(x,t)=\max_{x} h(x)=\max \{\max_{k}|4 \cos (\frac{k\pi}{2}-\frac{t}{4}) |, \max_{k} |6 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6})|\} maxx​g(x,t)=maxx​h(x)=max{maxk​∣4cos(2kπ​−4t​)∣,maxk​∣6cos(6(2k+1)π​−6t​)∣}.

下面求解: ${\max }_t{\max }_{x}g(x,t)$.

其中:

max ⁡ k ∣ 6 cos ⁡ ( ( 2 k + 1 ) π 6 − t 6 ) ∣ = max ⁡ k = − 1 , 0 , 1 ∣ 6 cos ⁡ ( ( 2 k + 1 ) π 6 − t 6 ) ∣ = 6 max ⁡ { ∣ cos ⁡ − π − t 6 ∣ , ∣ cos ⁡ π − t 6 ∣ , ∣ cos ⁡ 3 π − t 6 ∣ } \max_{k} |6 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6})|=\max_{k=-1,0,1}|6 \cos (\frac{(2k+1)\pi}{6} - \frac{t}{6})|=6\max\{|\cos\frac{-\pi-t}{6}|, |\cos\frac{\pi-t}{6}|, |\cos\frac{3\pi-t}{6}|\} maxk​∣6cos(6(2k+1)π​−6t​)∣=maxk=−1,0,1​∣6cos(6(2k+1)π​−6t​)∣=6max{∣cos6−π−t​∣,∣cos6π−t​∣,∣cos63π−t​∣}.

构造关于变元 $x$ 的辅助函数 g ( x ) = max ⁡ { ∣ cos ⁡ ( x − π 3 ) ∣ , ∣ cos ⁡ x ∣ , ∣ cos ⁡ ( x + π 3 ) ∣ } g(x)=\max\{|\cos (x-\frac{\pi}{3})|, |\cos x|, |\cos (x+\frac{\pi}{3})|\} g(x)=max{∣cos(x−3π​)∣,∣cosx∣,∣cos(x+3π​)∣}, 结合图像可知 $g(x)\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$, 当 $x=\frac{\pi }{6}$ 时等号成立.

所以 max ⁡ { ∣ cos ⁡ − π − t 6 ∣ , ∣ cos ⁡ π − t 6 ∣ , ∣ cos ⁡ 3 π − t 6 ∣ } ≥ 3 2 \max\{|\cos\frac{-\pi-t}{6}|, |\cos\frac{\pi-t}{6}|, |\cos\frac{3\pi-t}{6}|\} \geq \frac{\sqrt{3}}{2} max{∣cos6−π−t​∣,∣cos6π−t​∣,∣cos63π−t​∣}≥23 ​​, 当 $\frac{\pi -t}{6}=\frac{\pi }{6}$, 即 $t=0$ 时等号成立.

$|4\cos (\frac{k\pi }{2}-\frac{t}{4})|\le 4<3\sqrt{3}$.

综上, ${\max }_t{\max }_{x}g(x,t)=3\sqrt{3}$.