基于算法竞赛的c++编程（24）位运算及其应用

本节主要是位运算及其相关应用

位运算基础概念

位运算是对整数在二进制位级别上的操作。C++提供了六种位运算符，包括按位与（&）、按位或（|）、按位异或（^）、按位取反（~）、左移（<<）和右移（>>）。这些操作通常用于优化性能或处理底层数据。

常用位运算符及示例

按位与（&）
对应位均为1时结果为1，否则为0。常用于掩码操作或检测特定位。
示例：

int a = 5;    // 0101
int b = 3;    // 0011
int c = a & b; // 0001 (1)

按位或（|）
对应位至少有一个1时结果为1。常用于设置特定位。
示例：

int a = 5;    // 0101
int b = 3;    // 0011
int c = a | b; // 0111 (7)

按位异或（^）
对应位不同时结果为1。常用于交换变量或加密。
示例：

int a = 5;    // 0101
int b = 3;    // 0011
int c = a ^ b; // 0110 (6)

按位取反（~）
所有位取反。常用于生成补码。
示例：

int a = 5;    // 0101
int b = ~a;   // 1010 (-6，取决于位数和符号表示)

左移（<<）
将二进制位向左移动，低位补0。常用于快速乘法（左移n位相当于乘以2^n）。
示例：

int a = 5;    // 0101
int b = a << 1; // 1010 (10)

右移（>>）
将二进制位向右移动，高位补符号位（算术右移）或0（逻辑右移）。常用于快速除法（右移n位相当于除以2^n）。
示例：

int a = 5;    // 0101
int b = a >> 1; // 0010 (2)

位运算的常见应用

快速判断奇偶性
通过检查最低位是否为1来判断奇数。

bool isOdd(int num) {return num & 1;
}

交换两个变量的值
利用异或运算无需临时变量。

void swap(int &a, int &b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;
}

计算绝对值
利用补码和位运算快速计算。

int abs(int num) {int mask = num >> (sizeof(int) * 8 - 1);return (num ^ mask) - mask;
}

检测2的幂
若n是2的幂，则n & (n - 1)为0。

bool isPowerOfTwo(int n) {return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
}

位运算的优化技巧

快速乘除
左移和右移可替代部分乘除法操作。

int multiplyByTwo(int num) { return num << 1; }
int divideByTwo(int num)   { return num >> 1; }

掩码操作
提取或设置特定位时使用掩码。

// 提取低4位
int low4Bits = num & 0xF;
// 设置第3位为1
num |= (1 << 2);

位计数（Population Count）
统计二进制中1的个数。

int countOnes(int n) {int count = 0;while (n) {n &= (n - 1);count++;}return count;
}

注意事项

• 位运算优先级通常低于算术运算，建议多用括号明确逻辑。
• 右移负数时结果依赖编译器实现（算术或逻辑右移）。
• 避免过度优化导致代码可读性下降。

通过合理使用位运算，可以显著提升某些场景下的性能表现，尤其在嵌入式开发或算法竞赛中尤为常见。