2.1 状态空间表达式

考研《现代控制理论》第一章核心考点：状态空间表达式五大知识点总结

本文根据考研复习手稿精炼而成，涵盖第一章核心考点。适用于控制科学与工程、自动化等专业考生备考。

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一、基本概念与定义

1️⃣ 核心四要素

• 状态变量
  完全表征系统运动状态的最小数目变量组，个数 = 系统独立储能元件数
  例：电路中电容电压、电感电流

• 状态矢量
  $n$个状态变量构成的列向量：
  $$x(t)=\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ ⋮\\ x_n(t)\end{array}\right]$$

• 状态空间
  以状态变量为坐标轴的n维空间，$x(t_0)$代表$t_0$时刻的状态点

• 状态方程
  状态变量构成的一阶微分方程组

2️⃣ 扩展定义

• 输出方程：输出$y$与状态变量$x$的关系式
• 状态空间表达式：状态方程 + 输出方程 = 系统完整动态描述

📌 考点提示：选择题常考状态变量个数判定

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二、系统表达式

1️⃣ SISO系统（单输入单输出）

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

• $A$：系统矩阵（$n\times n$）
• $B$：输入矩阵（$n\times r$）
• $C$：输出矩阵（$m\times n$）
• $D$：直接传输矩阵（$m\times r$）
• $x$：状态矢量（$n\times 1$）
• $u$：输入矢量（$r\times 1$）
• $y$：输出矢量（$m\times 1$）

2️⃣ MIMO系统（多输入多输出）

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$
维数扩展：$u$为$r$维输入，$y$为$m$维输出

3️⃣ 系统框图绘制要点

1. 积分器数量 = 状态变量数，输出对应$x_i$
2. 根据方程放置加法器/比例器
3. 箭头按信号流向连接元件

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三、求解状态空间表达式

1. 系统框图法
   根据物理结构直接建立方程

2. 机理建模法
   利用物理定律推导（如牛顿定律、基尔霍夫定律）

3. 高阶微分方程/传递函数转化法

   • 并联型实根系统：
     $$W(s)=\sum _{i=1}^n\frac{G_i}{s-{\lambda }_i}(\text{无重根})$$
     $$W(s)=\sum _{k=1}^r\frac{G_k}{(s-{\lambda }_1{)}^k}+\sum _{i=r+1}^n\frac{G_i}{s-{\lambda }_i}(\text{有重根})$$
   • 串联型：$W(s)=W_1(s)W_2(s)$
   • 反馈型：$W_f(s)=[I+W_1(s)W_2(s){]}^{-1}{W}_1(s)$

⚠️ 重点：传递函数化为状态空间表达式的可控/可观标准型

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四、线性变换与标准化

1️⃣ 线性变换原理

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}\Rightarrow x=Tz\Rightarrow \{\begin{array}{l}\dot{z}=T^{-1}ATz+T^{-1}Bu\\ y=CTz+Du\end{array}$$
初始条件转换：$z(0)=T^{-1}x(0)$
非奇异变换不变性：非奇异系统经过线性变换后，特征值、传递函数矩阵、能控性、能观性不变。

2️⃣ 化为约旦标准型

• 无重根 → 对角阵
  $$J=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

• 有重根 → 约当块：

  三阶重根${\lambda }_1$的变换矩阵：
  $$T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ {\lambda }_1& 1& 0\\ {\lambda }_1^2& 2{\lambda }_1& 1\end{array}\right)$$

• 友矩阵变换：
  $$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ -a_0& \cdots & \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right)$$

  • 无重根 → 范德蒙矩阵
  • 含复根 → 实部虚部分解（$T$含$\delta ,\omega$项）

🔑 核心结论：非奇异变换不改变特征值、传递函数矩阵、能控性、能观性

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五、传递函数矩阵

1️⃣ SISO系统

$$\begin{array}{rl}{W}_{ux}(s)& =(sI-A{)}^{-1}b\\ W_{uy}(s)& =c(sI-A{)}^{-1}b+d\end{array}$$

2️⃣ MIMO系统

$$\begin{array}{rl}{W}_{ux}(s)& =(sI-A{)}^{-1}B\\ W_{uy}(s)& =C(sI-A{)}^{-1}B+D\end{array}$$

3️⃣离散时间系统

$$\{\begin{array}{l}x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\\ y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{array}$$

4️⃣子系统连续的传递函数性质

• 并联 ：$W(s)=W_1(s)+W_2(s)$
• 串联 ：$W(s)=W_2(s)+W_1(s)$
• 反馈 ：$W(s)=[I+W_1(s)W_2(s){]}^{-1}{W}_1(s)=W_1(s)[I+W_2(s)W_1(s){]}^{-1}$

💡 注：连续系统与离散系统表达式存在对应关系

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附：高频公式速查表

类型	传递函数矩阵	状态方程
SISO	$W_{uy}=c(sI-A{)}^{-1}b+d$	$\dot{x}=Ax+bu$
MIMO	$W_{uy}=C(sI-A{)}^{-1}B+D$	$\dot{x}=Ax+Bu$
离散	-	$x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)$

✏️ 复习建议：结合真题重点练习约当标准型变换和传递函数矩阵求解

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版权声明：本文部分内容整理自个人备考笔记，公式推导部分参考《现代控制理论》（刘豹著）。