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【动态规划数论】P9759 [COCI 2022/2023 #3] Bomboni|普及+

news 来源：原创 2025/6/10 5:51:47

本文涉及知识点

C++动态规划
数论：质数、最大公约数、菲蜀定理

P9759 [COCI 2022/2023 #3] Bomboni

题目描述

Iva 是一个狂热的糖果迷！在她面前是一块填满糖果和障碍的 $n\times n$ 的土地。Iva 目前在左上角。通过向右或向下移动，她要前往右下角。Iva 目前所在的格子没有障碍。

在每个格子中写了一个数字表示此地为糖果或障碍。Iva 会吃掉所有经过的糖果（包括起点和终点的糖果）并且将糖果对应的数字相乘。Iva 知道她自己最喜欢的数字是 $k$ ，所以她希望这个乘积结果能被 $k$ 整除。她想知道一共有多少条这样的路径。由于答案可能很大，她只想知道答案模 $998244353$ 的结果。

输入格式

第一行两个整数 $n, k$ ，表示土地的边长和 Iva 的最喜欢的数字。

在接下来的 $n$ 行中，每一行 $n$ 个数字，描述这片土地。如果 $a_{i,j}=-1$ ，那么这块土地就是障碍物，否则满足这块土地包含一个 $1\le a_{i,j}\le 10^6$ 的数。

输出格式

一行一个整数表示结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 2
3 2
1 4

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

输出 #2

说明/提示

【样例解释 #2】

共有三条这样的路线：

5-2-3-3-1
5-2-3-6-1
5-7-3-6-1

【数据范围】

子任务	分值	特殊性质
$1$	$13$	$n,k,a_{i,j} \leq 20$
$2$	$17$	$\leq 20$
$3$	$33$	$k\le 20$
$4$	$47$	无特殊性质

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\leq n \leq 500,1\le k\le 10^6, -1\le a_{i,j}\le 10^6$ 。

本题满分 $110$ 分。

动态规划数论暴力

dp[r][c][k] 记录到达(r,c)的方案数。 $\mod K == k$ 空间复杂度：O(NNK) 超时。

动态规划数论

动态规划的状态表示

dp[r][c][k],k的含义 $g c d (乘积, K)$ ，K的公约数数最多300多。故空间复杂度：约 $O (nnn)$

动态规划的填表顺序

第一层循环枚举前驱状态,第二层枚举操作。

动态规划的转移方程

dp[r][[c+1][(gcd(ka[r][c+1],K)) += dp[r][c][k] dp[r+1][c][gcd(ka[r][c+1]) += dp[r][c][k]

动态规划的初始值

dp[0][0][gcd(grid[0][0],K)] = 1;，其它全部0。

动态规划的返回值

dp.back().back()

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD){}C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this *= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(T2 n)const{C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}T1 ToInt()const{return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;}
private:T1 m_iData = 0;;
};class Solution {public:int Ans(const int K,vector<vector<int>>& grid) {const int N = grid.size();typedef C1097Int<998244353> BI;vector < vector<unordered_map<int, BI>>> dp(N, vector<unordered_map<int, BI>>(N));dp[0][0][gcd(grid[0][0],K)] = 1;for (int r = 0; r < N; r++) {for (int c = 0; c < N; c++) {for (const auto& [k, cnt] : dp[r][c]){if ((r + 1 < N) && (-1 != grid[r + 1][c])) {const int k1 = gcd((long long)K, (long long)k * grid[r + 1][c]);dp[r + 1][c][k1] += cnt;}if ((c + 1 < N) && (-1 != grid[r][c + 1])) {const int k1 = gcd((long long)K, (long long)k * grid[r][c + 1]);								dp[r][c + 1][k1] += cnt;}}}}return dp.back().back()[K].ToInt();}};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;int N=0,K=0;cin >> N >> K;vector<vector<int>> grid(N);for (int i = 0; i < N; i++) {grid[i] = Read<int>(N);}
#ifdef _DEBUG	printf("K=%d", K);Out(grid, ",grid=");//Out(lr, ",lr=");
#endif // DEBUG		auto res = Solution().Ans(K,grid);cout << res << "\n";return 0;
};

单元测试

int K;vector<vector<int>> grid;TEST_METHOD(TestMethod11){grid = { {3,2},{1,4} };auto res = Solution().Ans(2,grid);AssertEx(2, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){K = 6, grid = { {5,2,-1},{7,3,6},{-1,3,1} };auto res = Solution().Ans(K, grid);AssertEx(3, res);}TEST_METHOD(TestMethod13){K = 6, grid = { {2,3},{1,1} };auto res = Solution().Ans(K, grid);AssertEx(1, res);}

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