多元隐函数 偏导公式

我们来推导隐函数 $z=z(x,y)$ 的偏导公式，给定一个隐函数关系：

$$F(x,y,z(x,y))=0$$

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🧠 目标：

求 $\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$ 的表达式，并给出机器推理式的逐步证明过程（即逻辑、清晰、一步一步链式推导）。

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📘 前提：隐函数存在

根据隐函数存在定理，若 $F$ 在某点处连续可微，且 $\frac{\partial F}{\partial z}\ne 0$，则可以在该点附近将 $z$ 表示为 $x,y$ 的函数，即：

$$z=z(x,y)$$

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🚀 推导步骤：链式法则

从恒等关系出发：

$$F(x,y,z(x,y))=0$$

对两边对 $x$ 求偏导数（注意 $z=z(x,y)$，是 $x$ 的函数）：

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))=0$$

使用链式法则对复合函数求导：

$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0$$

移项得到：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$$

同理，对 $y$ 求偏导：

$$\frac{\partial }{\partial y}F(x,y,z(x,y))=0$$

应用链式法则：

$$\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=0$$

移项得到：

$$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$$

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✅ 结论：隐函数 $z=z(x,y)$ 的偏导数为：

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}}$$

其中 $F_x=\frac{\partial F}{\partial x}$、$F_y=\frac{\partial F}{\partial y}$、$F_z=\frac{\partial F}{\partial z}$。

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📌 示例验证

令：

$$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\Rightarrow z=z(x,y)$$

计算：

$$F_x=2x,F_y=2y,F_z=2z$$

代入公式：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y}{2z}=-\frac{y}{z}$$

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是否还需要用向量形式或全微分方式再次推导这个过程？我可以继续补充。