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量化面试绿皮书：7. 100的阶乘中有多少个尾随零

news 来源：原创 2025/6/24 2:00:26

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

7. 100的阶乘中有多少个尾随零

Q: $100!$ （100 的阶乘）中有多少个尾随零？

A: $100!$ （100 的阶乘）的尾随零数量取决于因子中 10 的个数，而 10 由质因子 2 和 5 相乘得到。在阶乘中，2 的因子通常比 5 的因子多，因此尾随零的数量主要由 5 的因子数量决定。

计算 $100!$ 中 5 的因子数量，可以使用公式：

$\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^k} \right\rfloor$

其中 $n = 100$ 。

$\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = \left\lfloor 20 \right\rfloor = 20$ （贡献一个 5 因子的数：5, 10, 15, …, 100，共 20 个）
$\left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = \left\lfloor 4 \right\rfloor = 4$ （贡献额外 5 因子的数：25, 50, 75, 100，共 4 个）
$\left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = \left\lfloor 0.8 \right\rfloor = 0$ （125 > 100，无贡献）

因此，总 5 的因子数量为 $20 + 4 = 24$ 。

由于 $100!$ 中 2 的因子数量（计算为 97 个）远多于 5 的因子，尾随零的数量等于 5 的因子数量，即 24 个。

验证：例如，10! = 3,628,800，有 2 个尾随零（公式计算： $\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor = 2$ ）；25! 有 6 个尾随零（公式计算： $\left\lfloor \frac{25}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{25}{25} \right\rfloor = 5 + 1 = 6$ ），公式可靠。

故 $100!$ 中有 24 个尾随零。

Python 实现：

要计算阶乘中尾随零的数量，关键在于统计质因数5的出现次数（因为2的数量总是多于5）。

def count_trailing_zeros(n: int) -> int:"""计算阶乘结果中的尾随零数量。尾随零的数量由质因数分解中因子5的个数决定（因为因子2的数量总是更充裕）。通过累加 n//5 + n//25 + n//125 + ... 直到商为零。Args:n: 需要计算阶乘尾随零的正整数Returns:阶乘结果末尾连续零的数量Raises:ValueError: 当输入为负数时抛出"""if n < 0:raise ValueError("Input must be non-negative integer")count = 0divisor = 5while n >= divisor:count += n // divisordivisor *= 5return count# 验证100!的尾随零数量
print(count_trailing_zeros(100))  # 输出: 24

关键点说明

算法原理：
- 每个尾随零来自一个10的因子（即 $2 \times 5$ ）
- 阶乘中因子2的数量始终多于5，因此只需统计5的因子数
- 通过连续除以5的幂次（5, 25, 125…）累加商值
风格要素：
- 强类型标注：参数和返回值类型明确（: int / -> int）
- 文档字符串：包含功能说明、参数、返回值和异常
- 输入验证：对负数输入抛出ValueError
时间复杂度： $O(\log_n)$ ，对于 $n = 100$ 仅需4次循环迭代：
- 100//5 = 20
- 100//25 = 4
- 100//125 = 0 → 终止

这道面试题的本质是考察候选人将复杂问题分解为可量化因子的能力和高效计算思维，这类能力直接对应量化金融中高频交易系统优化、风险管理模型构建、衍生品定价精度提升等核心挑战。

🔑 核心知识点

质因数分解
理解尾随零由因子 $2 \times 5$ 构成，且 5 的数量为瓶颈因子
算法复杂度优化
用 $O(\log_n)$ 迭代代替阶乘计算（避免 $100!$ 的爆炸性计算）
边界条件处理
对负数/零输入的异常控制（映射金融数据清洗场景）

📊 面试评估维度

考察维度	具体表现要求	本题对应点
数学建模能力	将现实问题转化为数学约束	识别尾随零与质因数 `5` 的关联
计算效率敏感度	避免暴力计算，设计最优算法	用除法累加代替阶乘运算
代码严谨性	边界条件处理与防御性编程	对负输入抛出 `ValueError`
金融思维联想	理解数学工具在金融场景的应用逻辑	类似因子分解在波动率建模中的应用

🧩 典型回答框架

def count_trailing_zeros(n: int) -> int:# 1. 输入验证（金融数据校验思维）if n < 0: raise ValueError("n must be non-negative")# 2. 核心算法（量化计算效率）count = 0while n >= 5:n //= 5  # 关键迭代步骤count += nreturn count