平面方程在不同坐标系下的变换与平移

平面方程在不同坐标系下的变换

已知条件：

1. 在世界坐标系中，平面的一般方程为：
   $$Ax+By+Cz+D=0$$
   其中：

   • $A,B,C$ 构成了该平面的法向量 $\mathbf{n}=[A,B,C{]}^{\top }$；
   • $D$ 表示该平面到原点的有向距离（即带符号的距离）。

2. 世界坐标系下的点 ${\mathbf{p}}_w$ 与相机坐标系下的点 ${\mathbf{p}}_c$ 之间的变换关系为：
   $${\mathbf{p}}_w=\mathbf{R}{\mathbf{p}}_c+\mathbf{t}$$
   其中：

   • ${\mathbf{p}}_w\in {\mathbb{R}}^3$：世界坐标系中的点（3×1 向量）；
   • ${\mathbf{p}}_c\in {\mathbb{R}}^3$：相机坐标系中的点（3×1 向量）；
   • $\mathbf{R}\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$：旋转矩阵，表示从相机坐标系到世界坐标系的旋转；
   • $\mathbf{t}\in {\mathbb{R}}^3$：平移向量，表示相机在世界坐标系中的位置。

目标：

将世界坐标系下的平面方程转换为相机坐标系下的表达式。

---

方法一：

表达一个平面方程只需要确认法向量和D值，因此为了将这个平面方程转换到相机坐标系下，我们需要做的是：

1. 变换平面的法向量：因为旋转矩阵 $R$ 变换的是坐标点而不是向量的方向，所以平面的法向量只需要通过 $R^T$（即 $R$ 的转置，对于正交矩阵 $R$，其转置等于其逆）来调整法向量的方向。因此，在相机坐标系下的法向量 ${\mathbf{n}}^{\prime }$可以表示为:
   $${\mathbf{n}}^{\prime }=R^T\mathbf{n}$$

2. 计算新的 $D^{\prime }$ 值：由于平面的位置也受平移的影响，所以我们还需要调整 $D$ 值。首先，考虑平面上的一点 $\mathbf{p}$，它满足原始的平面方程。该点在相机坐标系中的位置可以通过 ${\mathbf{p}}^{\prime }=R^T(\mathbf{p}-t)$ 来计算。然后，利用新坐标系下的平面方程 ${\mathbf{n}}^{\prime }\cdot {\mathbf{p}}^{\prime }+D^{\prime }=0$，我们可以解出 $D^{\prime }$。但是，直接计算 $D^{\prime }$ 更简单的方式是注意到 $D=-\mathbf{n}\cdot \mathbf{p}$，因此在变换后我们有:
   $$D^{\prime }=-{\mathbf{n}}^{\prime }\cdot (R^T(-t))=-{\mathbf{n}}^{\prime }\cdot (-R^{T}t)={\mathbf{n}}^{\prime }\cdot R^{T}t$$

总结起来，给定世界坐标系下的平面方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 和从世界坐标系到相机坐标系的变换（旋转矩阵 $R$ 和平移向量 $t$），你可以按照以下步骤得到相机坐标系下的平面方程：

• 计算新的法向量：${\mathbf{n}}^{\prime }=R^T\mathbf{n}$
• 计算新的常数项：$D^{\prime }={\mathbf{n}}^{\prime }\cdot R^{T}t$

最终，在相机坐标系下的平面方程为 $A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D^{\prime }=0$，其中$[A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }{]}^T={\mathbf{n}}^{\prime }$。

---

方法二：

假设世界坐标系下平面的方程为：

$$A{x}_w+B{y}_w+C{z}_w+D=0$$

也可以写成向量形式：

$${\mathbf{n}}_w^T{\mathbf{p}}_w+D=0$$

其中：

• ${\mathbf{n}}_w=[A,B,C{]}^T$ 是世界坐标系下的平面法向量；
• ${\mathbf{p}}_w=[x_w,y_w,z_w{]}^T$ 是世界坐标系下的任意一点。

我们要推导出这个平面在相机坐标系下的方程。为此，我们将 ${\mathbf{p}}_w=R{\mathbf{p}}_c+t$ 代入上式：

$${\mathbf{n}}_w^T(R{\mathbf{p}}_c+t)+D=0$$

展开得：

$${\mathbf{n}}_w^{T}R{\mathbf{p}}_c+{\mathbf{n}}_w^{T}t+D=0$$

定义新的法向量和常数项：

• ${\mathbf{n}}_c=R^T{\mathbf{n}}_w$ （注意：${\mathbf{n}}_w^{T}R=(R^T{\mathbf{n}}_w{)}^T={\mathbf{n}}_c^T$）
• $D_c={\mathbf{n}}_w^{T}t+D$

于是相机坐标系下的平面方程变为：

$${\mathbf{n}}_c^T{\mathbf{p}}_c+D_c=0$$

或写成分量形式：

$$A^{\prime }{x}_c+B^{\prime }{y}_c+C^{\prime }{z}_c+D_c=0$$

其中：

• $[A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }{]}^T={\mathbf{n}}_c=R^T{\mathbf{n}}_w$
• $D_c={\mathbf{n}}_w^{T}t+D$

---

总结公式

给定世界坐标系下的平面参数 $({\mathbf{n}}_w,D)$，以及相机相对于世界的变换 $(R,t)$，则相机坐标系下的平面参数为：

• 法向量：
  $${\mathbf{n}}_c=R^T{\mathbf{n}}_w$$

• 常数项：
  $$D_c={\mathbf{n}}_w^{T}t+D$$

---

示例计算

假设：

• 世界坐标系下的平面为：$2x+3y+6z-12=0$，即 ${\mathbf{n}}_w=[2,3,6{]}^T$, $D=-12$
• 相机变换为：
  $$R=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],t=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$

步骤一：计算 ${\mathbf{n}}_c=R^T{\mathbf{n}}_w$

由于 $R$ 是旋转矩阵，$R^T=R^{-1}$，所以：

$$R^T=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$${\mathbf{n}}_c=R^T\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\cdot 2+1\cdot 3+0\cdot 6\\ -1\cdot 2+0\cdot 3+0\cdot 6\\ 0\cdot 2+0\cdot 3+1\cdot 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right]$$

步骤二：计算 $D_c={\mathbf{n}}_w^{T}t+D$

$${\mathbf{n}}_w^{T}t=[2,3,6]\cdot [1,2,3]=2\ast 1+3\ast 2+6\ast 3=2+6+18=26$$

$$D_c=26+(-12)=14$$

---

最终结果

相机坐标系下的平面方程为：

$$3x_c-2y_c+6z_c+14=0$$

---

平面方程沿着法向量移动

先补充点到直线的距离公式，有利于了解平面方程沿着法向量移动

点到直线的距离公式

---

1、基本思想：投影法

• 平面的法向量 $\vec{n}$ 是垂直于平面的；
• 点 $P_0$ 到平面的最短距离，就是从该点沿法向量方向“垂直到达”平面的距离；
• 因此，我们可以取平面上任意一点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$，构造向量 $\overrightarrow{P_1{P}_0}$，然后将它在法向量 $\vec{n}$ 上投影，得到的就是有向距离。

---

2、具体推导过程

1. 任取平面上的一点

设 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 是平面上的一个点，则满足平面方程：

$$A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D=0$$

---

2. 构造向量 $\overrightarrow{P_1{P}_0}$

$$\overrightarrow{P_1{P}_0}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)$$

---

3. 向量在法向量上的投影长度（即点到平面的有向距离）

投影公式是：

$$d=\frac{\overrightarrow{P_1{P}_0}\cdot \vec{n}}{\Vert \vec{n}\Vert }$$

计算内积：

$$\overrightarrow{P_1{P}_0}\cdot \vec{n}=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0-(A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1)$$

由于 $A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1=-D$（因为 $P_1$ 在平面上），代入得：

$$\overrightarrow{P_1{P}_0}\cdot \vec{n}=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D$$

所以点到平面的有向距离为：

$$d=\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{\Vert \vec{n}\Vert }=\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

• 分子 $A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D$ 实际上是把点代入平面方程左边的结果。
• 分母是法向量的模长，用于标准化距离。
• 这个公式适用于所有不在平面上的点。
• 这个距离是带有方向的，当结果为正时，cos 值大于 0，表示$\overrightarrow{P_1{P}_0}$与法向量$\vec{n}$同向，表示点在法向量指向的一侧（也叫正方向）；为负则在另一侧（反方向）。

---

平面沿着法向量移动：

平面方程的法向量可以有两个方向，我们需要先确认移动的方向，这里的研究就以靠近原点（原点不在平面上）的方向来沿着法向量移动$d$个距离。

---

判断原点与法向量的关系，将原点代入平面方程可知，当$D>0$时，原点在法向量正方向，当$D<0$时，原点在法向量反方向。

沿法向量方向移动距离 $d$，那么新的平面方程与原平面平行，法向量不变，只是常数项 D 发生变化。

平移后的平面方程为：

$$Ax+By+Cz+D^{\prime }=0$$

其中，

$$D^{\prime }=D\mp 4\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}$$

符号取决于你希望平面是朝法向量方向移动（−），还是反方向移动（+）：

• 若沿法向量方向移动（即从原点往法向量方向移动平面），使用 减号：

  $$D^{\prime }=D-4\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}$$

• 若沿法向量相反方向移动，使用 加号。

  $$D^{\prime }=D+4\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}$$

---

推导

假设我们把这个平面沿法向量正方向移动距离 $d$ ，法向量保持不变，那么只需要确认D值，我们只需要研究一个在原先平面的点$r0$之后是怎么变换到新平面的就可以确认D值了。

由于法向量可能不是单位向量，我们需要先将其归一化：

$$\hat{n}=\left(\frac{A}{N},\frac{B}{N},\frac{C}{N}\right),N=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$$

于是，每个点都沿这个方向移动 $d$ 个单位长度，即：

$${\vec{r}}_{\text{new}}=\vec{r}+d\cdot \hat{n}$$

也就是说，原来的点 ${\vec{r}}_0$ 移动后变成：

$${\vec{r}}_{\text{new},0}={\vec{r}}_0+d\cdot \hat{n}$$

代入到新的平面方程中，得到新的常数项：

$$\begin{gathered} D^{\prime }=-(A{x}_{\text{new},0}+B{y}_{\text{new},0}+C{z}_{\text{new},0}) \\ =-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+d(A^2+B^2+C^2)/N)（将r0代入） \\ =D-d\cdot N \end{gathered}$$

---

因此，若原始平面方程为：
$$Ax+By+Cz+D=0$$

则沿其法向量方向移动 $d$ 个单位后的新平面方程为：
$$Ax+By+Cz+(D-d\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2})=0$$

---