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向量压缩方法全解析：从线性插值到小波压缩

news 来源：原创 2025/6/7 13:56:52

一、线性插值压缩（Linear Interpolation Compression）

二、对数线性插值压缩（Log-linear Interpolation Compression）

三、等间距采样（Uniform Sampling）

四、等比例采样（Value-Based Sampling）

五、三次样条插值 + 重采样（Cubic Spline Interpolation + Resampling）

六、主成分分析（PCA）

七、小波压缩（Wavelet Compression）

总结对比表

在信号处理、数据压缩与嵌入式系统中，常常面临这样一个问题：如何将一个长度很长的向量压缩成较短的形式？我们希望压缩后的向量仍然能够代表原始数据的主要特征，同时减少存储和计算成本。本文将系统讲解六种常见的向量压缩方法，包括其原理、适用场景、详细数学解释和完整的 C++ 实现。

一、线性插值压缩（Linear Interpolation Compression）

原理解释

将原始向量在索引维度上等间距采样。如果压缩目标是长度为 mm，而原始向量长度为 nn，则采样点位置为：

对应位置上的值通过线性插值得到：

其中 $t= x_{i} = \left \lfloor x_{i} \right \rfloor$ 。

C++ 实现

std::vector<double> linearCompress(const std::vector<double>& vec, int targetLen) {std::vector<double> result;int originalLen = vec.size();for (int i = 0; i < targetLen; ++i) {double pos = i * (originalLen - 1.0) / (targetLen - 1.0);int left = (int)std::floor(pos);int right = std::min(left + 1, originalLen - 1);double t = pos - left;double val = (1 - t) * vec[left] + t * vec[right];result.push_back(val);}return result;
}

二、对数线性插值压缩（Log-linear Interpolation Compression）

原理解释

当向量数据以指数增长时，在对数尺度上均匀采样能更好地保留信息结构。我们将索引映射到 $\log (x+1)$ 空间后再进行插值。

设原始索引 $x\in \left [ 0, n-1 \right ]$ ，转换后变为：

然后等间距地选取对数空间的 mm 个采样点，再进行线性插值。

C++ 实现

std::vector<double> logLinearCompress(const std::vector<double>& vec, int targetLen) {std::vector<double> result;int n = vec.size();std::vector<double> logX(n);for (int i = 0; i < n; ++i)logX[i] = std::log(i + 1);double minLog = logX.front();double maxLog = logX.back();for (int i = 0; i < targetLen; ++i) {double x = minLog + i * (maxLog - minLog) / (targetLen - 1);int j = 0;while (j < n - 1 && logX[j + 1] < x) ++j;int k = std::min(j + 1, n - 1);double t = (x - logX[j]) / (logX[k] - logX[j]);double val = (1 - t) * vec[j] + t * vec[k];result.push_back(val);}return result;
}

三、等间距采样（Uniform Sampling）

原理解释

直接在索引空间取等距离下标并提取对应值：

C++ 实现

std::vector<double> uniformSampling(const std::vector<double>& vec, int targetLen) {std::vector<double> result;int n = vec.size();for (int i = 0; i < targetLen; ++i) {int idx = i * n / targetLen;idx = std::min(idx, n - 1);result.push_back(vec[idx]);}return result;
}

四、等比例采样（Value-Based Sampling）

原理解释

根据原始向量值的最小值与最大值计算等比采样位置。设 $V_{min}, V_{max}$ ，则目标值：

然后使用最近邻或插值查找对应的原始向量值。

C++ 实现

std::vector<double> valueBasedSampling(const std::vector<double>& vec, int targetLen) {std::vector<double> result;double minV = *std::min_element(vec.begin(), vec.end());double maxV = *std::max_element(vec.begin(), vec.end());for (int i = 0; i < targetLen; ++i) {double r = (double)i / (targetLen - 1);double val = minV * std::pow(maxV / minV, r);auto it = std::lower_bound(vec.begin(), vec.end(), val);if (it == vec.end()) result.push_back(vec.back());else result.push_back(*it);}return result;
}

五、三次样条插值 + 重采样（Cubic Spline Interpolation + Resampling）

原理解释

构造原始向量的样条函数 S(x)，再在目标等间距点上进行评估：

实现建议

使用现成 C++ 插值库（如 eigen, alglib, spline.h）来生成样条函数并进行插值。这一部分我会单独开一篇文章来详述。

六、主成分分析（PCA）

原理解释

若你有多个高维向量样本，将其构成矩阵 X∈RN×DX \in \mathbb{R}^{N \times D}，则：

对每一列做中心化（减去均值）
计算协方差矩阵
进行特征值分解，取前 k 个最大特征值对应的特征向量构成矩阵
降维

实现建议

可使用 Eigen C++ 或调用 Python sklearn.decomposition.PCA 实现。这一部分我会单独开一篇文章来详述。

七、小波压缩（Wavelet Compression）

原理解释

将向量用离散小波变换（DWT）分解为频域系数，再保留低频主成分系数（如 Daubechies、Haar 小波）重构信号。

实现建议

使用如 libwavelet, pywt 等库进行 DWT 变换与压缩。

总结对比表

方法	插值	支持单向量	数学复杂度	优点	缺点
线性插值	✅	✅	低	快速通用	无法建模曲线
对数插值	✅	✅	中	保留指数结构	敏感于开头数据稀疏
等间距采样	❌	✅	低	简单暴力	丢失关键信息
等比例采样	❌	✅	中	适应幅度变化	精度低，需排序
样条插值	✅	✅	高	平滑逼近	实现较复杂
PCA	❌	❌	高	数学最优压缩	仅支持多样本
小波压缩	❌	✅	高	去噪效果好	实现依赖库