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【分治法容斥原理矩阵快速幂】P6692 出生点|普及+

news 来源：原创 2025/6/7 6:53:59

本文涉及知识点

组合数学汇总
容斥原理
【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

P6692 出生点

题目背景

小 L、小 W 和小 H 在一起van♂游戏。

~~由于小 L 太菜了所以导致他一直在看着小 W 和小 H 打游戏。~~

题目描述

这款游戏的地图可以抽象成一张有 $n$ 行 $m$ 列的网格图，网格图上有 $k$ 个障碍点，相邻两点间边长为 $1$ 。游戏开始时~~小 L~~、小 W 和小 H 会各自随机出生在一个点。当然，他们不会出生在障碍点。

~~经常开局死的~~小 L 看着小 W 和小 H 每次在地图上汇合时经过的路径，很想知道他们每次出生后两个人之间的期望距离。（这里的距离指两点间曼哈顿距离，即 $\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$ ）

由于小 L 可以非常容易算出有多少种出生点安排方案，所以你实际上只需要告诉他所有情况中他们两人距离之和。

注意：小 W 出生在点 $A$ ，小 H 出生在点 $B$ ，跟小 W 出生在点 $B$ ，小 H 出生在点 $A$ ，这两种情况视作同一种情况。

输入格式

第一行有三个整数 $n, m, k$ ，分别表示地图行数、列数以及障碍物点数。

接下来有 $k$ 行，第 $i$ 行有两个正整数 $x_i,y_i$ ，表示第 $i$ 个障碍物的位置。

输出格式

一个整数，表示所有情况中小 W 和小 H 两人出生点距离之和。

由于小 L 十分无聊，所以他让你将答案对 $10^9+7$ 取模。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 3 2
2 1
3 3

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

输出 #2

说明/提示

对于样例一，地图样式如下（其中蓝点为障碍点，红点为可能的出生点）：

出生点为 $(1, 1)$ 和 $(1, 1)$ ，距离为 $0$ 。
出生点为 $(1, 1)$ 和 $(1, 2)$ ，距离为 $1$ 。
出生点为 $(1, 1)$ 和 $(1, 3)$ ，距离为 $2$ 。
出生点为 $(1, 1)$ 和 $(2, 2)$ ，距离为 $2$ 。
出生点为 $(1, 1)$ 和 $(2, 3)$ ，距离为 $3$ 。
出生点为 $(1, 1)$ 和 $(3, 1)$ ，距离为 $2$ 。
出生点为 $(1, 1)$ 和 $(3, 2)$ ，距离为 $3$ 。
出生点为 $(1, 2)$ 和 $(1, 2)$ ，距离为 $0$ 。
出生点为 $(1, 2)$ 和 $(1, 3)$ ，距离为 $1$ 。
出生点为 $(1, 2)$ 和 $(2, 2)$ ，距离为 $1$ 。
出生点为 $(1, 2)$ 和 $(2, 3)$ ，距离为 $2$ 。
出生点为 $(1, 2)$ 和 $(3, 1)$ ，距离为 $3$ 。
出生点为 $(1, 2)$ 和 $(3, 2)$ ，距离为 $2$ 。
出生点为 $(1, 3)$ 和 $(1, 3)$ ，距离为 $0$ 。
出生点为 $(1, 3)$ 和 $(2, 2)$ ，距离为 $2$ 。
出生点为 $(1, 3)$ 和 $(2, 3)$ ，距离为 $1$ 。
出生点为 $(1, 3)$ 和 $(3, 1)$ ，距离为 $4$ 。
出生点为 $(1, 3)$ 和 $(3, 2)$ ，距离为 $3$ 。
出生点为 $(2, 2)$ 和 $(2, 2)$ ，距离为 $0$ 。
出生点为 $(2, 2)$ 和 $(2, 3)$ ，距离为 $1$ 。
出生点为 $(2, 2)$ 和 $(3, 1)$ ，距离为 $2$ 。
出生点为 $(2, 2)$ 和 $(3, 2)$ ，距离为 $1$ 。
出生点为 $(2, 3)$ 和 $(2, 3)$ ，距离为 $0$ 。
出生点为 $(2, 3)$ 和 $(3, 1)$ ，距离为 $3$ 。
出生点为 $(2, 3)$ 和 $(3, 2)$ ，距离为 $2$ 。
出生点为 $(3, 1)$ 和 $(3, 1)$ ，距离为 $0$ 。
出生点为 $(3, 1)$ 和 $(3, 2)$ ，距离为 $1$ 。
出生点为 $(3, 2)$ 和 $(3, 2)$ ，距离为 $0$ 。

总和为 $42$ 。

数据范围

本题采用捆绑测试。

Subtask 1( $10\%$ )： $n,m\leq 80$ 。
Subtask 2( $20\%$ )： $n,m\leq 5000$ 。
Subtask 3( $15\%$ )： $k = 0$ 。
Subtask 4( $15\%$ )： $m = 1$ 。
Subtask 5( $40\%$ )：无特殊限制。

对于 $100\%$ 的数据， $1\leq n,m\leq 10^9,1\leq x_i\leq n,1\leq y_i\leq m,0\leq k\leq 5\times 10^5,k<n\times m$ ，保证所有障碍点各不相同。

分治法容斥原理

分治法：哈曼顿距离的横坐标和总坐标可以分开计算。
f(1): 所有方案的距离之和。
f(2):W在障碍，H在任何格子的距离之和。
f(3):W在任何格子，H在障碍的距离之和。
f(4):都在障碍的距离之和。
根据容斥原理，至少一个在障碍（不重复）：f(2)+f(3) - f(4) ，
故：x=f(1)-f(2)-f(3)+f(4) 都不在障碍不重复的距离之和。x/2 便是答案。
注意：两人不能在同一单格，同一单格距离和为0，无影响。
f(2)的求法，枚举障碍物（r,c）以求横向距离为例：
(0+(c-1)）c/2 + (0 +(C-c))(C-c+1)/2
f(3)=f(2)
f(4)的求法：
xs记录所有障碍的横坐标，升序。x1<x2且x1最大。有x2小的数有c1个，ls[x2] = ls[x1]+ (x2-x1)c1。Do函数求ls。rs = 翻转Do(翻转xs)。ls[i]是xs[i]到它左边的点的距离之和,rs[i]是xs[i]到它右边点的距离之和。
f(1)求法：
2(C-1)个长度为1的距离。
2*(C-2)个长度为2的距离。
$\vdots$
2*(C-i)个长度为i的距离。i $\in$ [1,C-1]
2个C-1的距离。
$每一行g1=2\sum_{i:1}^{C-1}(i \times (C-i))=2(C\sum i -\sum(i^2))$
每个c1都可以选择任意一行，有 $R^2种选择$
即f1的列距离： $RR g 1$
$s u mi$ 可以用高斯定理计算， $\sum ii$ 可以快速矩阵幂计算
总时间复杂度：O(k)+O(logm)+O(logm)

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD){}C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this *= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(T2 n)const{C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}T1 ToInt()const{return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;}
private:T1 m_iData = 0;;
};template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}// 矩阵乘法vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();assert(iK == b.size());vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));for (int i = 0; i < r; i++){for (int j = 0; j < c; j++){for (int k = 0; k < iK; k++){ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;}}}return ret;}// 矩阵快速幂vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {vector<vector<T>> res = a;for (; n; n /= 2) {if (n % 2) {res = multiply(res, b);}b = multiply(b, b);}return res;}vector<vector<T>> pow(vector<vector<T>> pre, vector<vector<T>> mat, const string& str){for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {const int t = str[i] - '0';pre = pow(pre, mat, t);mat = pow(mat, mat, 9);}return pre;}vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a){vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));return multiply(a, b);}vector<vector<T>> CreateRow(int C) {return vector<vector<T>>(1, vector<T>(C));}vector<vector<T>> CreateUint(int RC) {vector<vector<T>> ret(RC, vector<T>(RC));for (int i = 0; i < RC; i++) { ret[i][i] = 1; }return ret;}
protected:const  T m_llMod;
};typedef C1097Int<> BI;
typedef C1097Int<> BI;class Solution {public:int Ans(int R,int C,vector<pair<int,int>>& rc) {	map<int, int> mrs, mcs;	vector<int> rs, cs;for (auto& [r, c] : rc) { r--, c--; mrs[r]++, mcs[c]++; rs.emplace_back(r); cs.emplace_back(c); }m_ans += F1(R, C);	m_ans -= F23(R, C, mcs)*2;m_ans -= F23(C, R, mrs)*2;m_ans += F4(R,rs);m_ans += F4(C, cs);m_ans /= 2;return m_ans.ToInt();}BI F1(const int R,const int C) {vector<vector<long long>> mat(4, vector<long long>(4));mat[0][0] = 1; mat[1][0] = 2; mat[2][0] = 1;mat[1][1] = 1; mat[2][1] = 1;mat[2][2] = 1;mat[0][3] = 1,mat[1][3] =2, mat[2][3] = mat[3][3] = 1;vector<vector<long long>> pre = { { 0,0,1,0 } };//{x^2,x,1,平方和}CMatMul<> mulMat;BI ans1 = BI(C)*(1+C-1)*(C-1)/2 - mulMat.pow(pre,mat,C-1)[0][3];BI ans2 = BI(R) * (1 + R - 1) * (R - 1) / 2 - mulMat.pow(pre, mat, R - 1)[0][3];return (ans1*R*R+ans2*C*C)*2;}BI F23(const int R, const int C, map<int,int>& cnt) {BI ans;BI leftCurSum = 0,leftCurCnt=0;BI total = BI(R)*(BI(C-1)+0)*BI(C)/2;int pre = -1;for (auto&[cur,cnt1]:cnt) {leftCurCnt += BI(R) * (cur - pre);leftCurSum += BI(R) * (BI(cur) + BI(pre + 1)) * (cur - pre)/2;const auto r = total - leftCurSum;BI acell = leftCurCnt * cur - leftCurSum + r - BI(cur) * (BI(R)*C-leftCurCnt);ans += acell * cnt1;pre = cur;}return ans;}BI F4(const int C,vector<int> cs) {sort(cs.begin(), cs.end());BI ans;		//只计算到左边的距离，然后乘以2	BI leftSum = 0,leftCnt=0;for (const auto& cur: cs) {ans += BI(cur) * leftCnt - leftSum;leftSum += cur;leftCnt+=1;}return ans*2;}BI m_ans = 0;};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	int R, C, M;cin >> R >> C >> M;auto rc = Read<pair<int, int>>(M);
#ifdef _DEBUG	printf("R=%d,C=%d",R,C);Out(rc, ",rc=");//Out(B, ",B=");//Out(edge, ",edge=");		/*Out(que, ",que=");*///Out(ab, ",ab=");//Out(par, "par=");//Out(que, "que=");//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(R,C,rc);	cout << res << "\n";return 0;
};

单元测试

int R, C;vector<pair<int, int>> rc;BI Check1(int R, int C, const vector<pair<int, int>>& rc) {BI ans = 0;for (int r1 = 0; r1 < R; r1++) {for (int c1 = 0; c1 < C; c1++) {for (int r2 = 0; r2 < R; r2++) {for (int c2 = 0; c2 < C; c2++) {ans += abs(r1 - r2) + abs(c1 - c2);}}}}return ans;}BI Check2(int R, int C, const vector<pair<int, int>>& rc) {set<pair<int, int>> s;for (auto [r, c] : rc) { s.emplace(r, c); }BI ans = 0;for (int r1 = 0; r1 < R; r1++) {for (int c1 = 0; c1 < C; c1++) {if (!s.count({ r1, c1 })) { continue; }for (int r2 = 0; r2 < R; r2++) {for (int c2 = 0; c2 < C; c2++) {ans += abs(r1 - r2) + abs(c1 - c2);}}}}return ans;}BI Check3(int R, int C, const vector<pair<int, int>>& rc) {set<pair<int, int>> s;for (auto [r, c] : rc) { s.emplace(r, c); }BI ans = 0;for (int r1 = 0; r1 < R; r1++) {for (int c1 = 0; c1 < C; c1++) {if (!s.count({ r1, c1 })) { continue; }for (int r2 = 0; r2 < R; r2++) {for (int c2 = 0; c2 < C; c2++) {if (!s.count({ r2, c2 })) { continue; }ans += abs(r1 - r2) + abs(c1 - c2);}}}}return ans;}TEST_METHOD(TestMethod1){R = 3, C = 3, rc = { {2,1},{3,3} };auto res = Solution().Ans(R, C, rc);BI act = Check1(R, C, rc)- Check2(R, C, rc)*2+Check3(R,C,rc);act /= 2;AssertEx(act.ToInt(), res);AssertEx(42, res);}TEST_METHOD(TestMethod2){R = 9, C = 8, rc = { {3,2},{4,6},{7,3},{9,5},{3,7},{2,2},{1,6},{6,4} };auto res = Solution().Ans(R, C, rc);BI act = Check1(R, C, rc) - Check2(R, C, rc) * 2 + Check3(R, C, rc);act /= 2;AssertEx(act.ToInt(), res);AssertEx(11552, res);}TEST_METHOD(TestMethod3){R = 1, C = 3, rc = { };BI act = Check1(R, C, rc) - Check2(R, C, rc) * 2 + Check3(R, C, rc);act /= 2;auto res = Solution().Ans(R, C, rc);AssertEx(act.ToInt(), res);	}TEST_METHOD(TestMethod4){R = 2, C = 2, rc = { };auto res = Solution().Ans(R, C, rc);BI act = Check1(R, C, rc) - Check2(R, C, rc) * 2 + Check3(R, C, rc);act /= 2;AssertEx(act.ToInt(), res);}TEST_METHOD(TestMethod5){R = 57, C = 11, rc = { {1,1},{5,5},{1,5},{5,1} };auto res = Solution().Ans(R, C, rc);BI act = Check1(R, C, rc) - Check2(R, C, rc) * 2 + Check3(R, C, rc);act /= 2;AssertEx(act.ToInt(), res);	}

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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