【数据结构与算法】 二分查找

一、算法描述

在有序数组A内，查找值target：

• 如果找到返回索引
• 查找失败返回-1

二、基础版

public static int binarySearchBasic(int[] a, int target) {int i = 0,j = a.length - 1;//设置指针和初值while (i <= j) {//i~j范围内有东西int m = (i + j) / 2;if(target < a[m]) {//目标在左边j = m - 1;} else if (a[m] < target) { //目标在右边i = m + 1;}else {//找到了return m;}}return -1;
}

问题一：为什么是 i<=j意味着区间内有未比较的元素，而不是i<j ?

• i 和 j 同时指向的元素也会参与比较
• i < j 只意味着m指向的元素参与比较

问题二：（ i + j）/ 2 运算问题

• 溢出，最后计算结果变为负数
• int m = (i + j) / 2 修改为 int m = (i +j)>>>1

问题三：比较时都是小于符号好处？

三、改动版

public static int binarySearchBasic(int[] a, int target) {int i = 0,j = a.length;//第一处while (i < j) {//第二处int m = (i + j) >>> 1;if(target < a[m]) {j = m ; //第三处} else if (a[m] < target) { i = m + 1;}else {return m;}}return -1;
}

在基础版中i和j不止代表搜索边界，并且他们指向的元素也会参与计算，也叫左闭右闭。
在改动版中，j所指向的位置不希望参与运算。

四、平衡版

1. 左闭右开的区间，i指向的可能是目标，而j指向的不是目标
2. 不在循环内找出，等范围内只剩i时，退出循环，在循环外比较a[i]与target
3. 循环内的平均比较次数减少了
4. 时间复杂度e(log(n))

public static int binarySearch3(int[] a,int target){
int i = 0,j = a.length;while(1<j- i){int m =(i+ j)>>>1;if (target < a[m]){j =m;}else{i= m;}}if (a[i]== target){return i;}else {return -1;}
}

五、Java版

如果找到了就返回索引，如果没找到就返回负的插入点-1，所以如果没有找到target那么我们的返回值中的low其实就是实际该插入的位置

为何不直接返回low?
为了区分插入点是0的情况，因为索引0存放的有数据，如果直接返回low，无法判断你是返回的索引还是想插入的位置。

eg：在数组[2,5,8]中插入4

    public int[] binarySearchInsert(int[] nums, int insertNum ){int i = Arrays.binarySearch(nums, insertNum);//返回值应该是-（插入位置+1）i= Math.abs(i+1);//插入位置int[] newNums = new int[nums.length+1];//先将插入位置前的数据拷贝进去System.arraycopy(nums,0,newNums,0,i);//将目标值放进去newNums[i] = insertNum;//将初始数组剩下部分放进去System.arraycopy(nums,i,newNums,i+1,nums.length-i);return newNums;}

六、LeftMost

在之前的版本中如有出现重复元素，那么则返回遇到的第一个重复元素，改动代码 返回重复元素的最靠左侧的元素。

①设置变量记录候选位置，初始化-1
②当找的一个满足条件的数，不直接返回，而是记录候选位置
③找到重复元素的最左侧元素，应该往左侧区域查找，设置j=m-1
④返回候选位置，为正数代表存在且找到，返回负数代表不存在

七、RightMost

找到重复元素中最靠右的元素的位置。

八、leftMost和rightMost改进

1、leftMost

在leftMost和rightMost中没有查找到时都是返回一个没有意义的 -1 ，如何改进使之具有意义？ 返回 i 。

• 返回i 之后变量candidata的存在就没有意义，删除
• 删除后，if判断和else板块内容一样，合并
  
  改进后如下：
  
  在查找到的情况下，依旧返回重复元素最靠左元素的索引位置。
  在查找不到的情况，返回的是比查找目标大的最左侧的索引位置。
  总结： i就是大于等于目标的最靠左的位置。
  

2、rightMost

i就是小于等于目标的最靠右的位置。

九、leftMost和rightMost应用

①求排名
②求前任、后任、最近邻居
③求某个区间的数