信息学奥赛一本通 1570：【例 2】能量项链 | 1843：【06NOIP提高组】能量项链 | 洛谷 P1063 [NOIP 2006 提高组] 能量项链

【题目链接】

ybt 1570：【例 2】能量项链
ybt 1843：【06NOIP提高组】能量项链
洛谷 P1063 [NOIP 2006 提高组] 能量项链

【题目考点】

1. 动态规划：区间动规

2. 环形序列

解决方法：破环为链
模板题：洛谷 P1880 [NOI1995] 石子合并

【解题思路】

本题与洛谷 P1880 [NOI1995] 石子合并十分类似，可以先做上题，而后做本题。
环形序列上的问题，首先进行破环为链，将长为n的输入a序列变为长为$2n$的a序列。其中$a_{i+n}=a_i,1\le i\le n$。
原环形序列为由n个珠子构成的环形序列。破环为链后得到的是由$2n-1$个珠子构成的线性序列。该线性序列为一个假想的$b$序列，$b$序列的每个元素为一个珠子，第i颗珠子$d_i$的头标记为$a_i$，尾标记为$a_{i+1}$。最后第$2n-1$个珠子$b_{2n-1}$的头标记为$a_{2n-1}$，尾标记为$a_{2n}$。

1. 状态定义

• 阶段：第i个珠子到第j个珠子，即b序列区间$[i,j]$
• 决策：合并哪两个珠子
• 策略：合并的方案
• 策略集合：b序列区间$[i,j]$的所有合并方案
• 条件：获得能量最大
• 统计量：能量

状态定义：$d{p}_{i,j}$：b序列区间$[i,j]$的所有合并方案中，获得能量最大的方案所获得的能量。
初始状态：1颗珠子无法合并，获得能量为0。因此$d{p}_{i,i}=0$

2. 状态转移方程

• 策略集合：b序列区间$[i,j]$的所有合并方案
  根据最后一次将哪两个珠子合并，来分割策略集合。

设存在分割点$k$，将区间$[i,j]$分割为区间$[i,k]$与区间$[k+1,j]$。自然$i\le k<j$。
要想求$d{p}_{i,j}$：

• 先将b序列区间$[i,k]$合并为一个珠子，获得能量$d{p}_{i,k}$。得到珠子的头标记为$b_i$的头标记$a_i$，尾标记为$b_k$的尾标记$a_{k+1}$。
• 再将b序列区间$[k+1,j]$合并为一个珠子，获得能量$d{p}_{k+1,j}$。得到珠子的头标记为$b_{k+1}$的头标记$a_{k+1}$，尾标记为$b_j$的尾标记$a_{j+1}$。
• 而后再将这两个珠子合并，获得能量$a_i\cdot a_{k+1}\cdot a_{j+1}$。

求出$d{p}_{i,j}=d{p}_{i,k}+d{p}_{k+1,j}+a_i\cdot a_{k+1}\cdot a_{j+1}$
枚举分割点$k$的所有可能情况，求出每种情况下状态的最大值。
状态转移方程为：
d p i , j = max ⁡ { d p i , k + d p k + 1 , j + a i ⋅ a k + 1 ⋅ a j + 1 } , i ≤ k < j dp_{i,j} = \max\{dp_{i,k}+dp_{k+1,j}+a_i\cdot a_{k+1}\cdot a_{j+1}\}, i\le k < j dpi,j​=max{dpi,k​+dpk+1,j​+ai​⋅ak+1​⋅aj+1​},i≤k<j

3. 具体实现

由于求满足条件的最大值，dp数组初值应该为很小的值。由于所有可能的状态值都是非负整数，因此dp数组初值可以为0。
对于长为1的区间的状态，1个珠子无法合并获得能量，因此$d{p}_{i,i}=0$
外层循环为区间长度len，len最小为2，最大为n。
内层循环为区间左端点i，i最小为1。由于破环为链后$b$序列共有$2n-1$个元素，i最大时，区间右端点$i+len-1$为$2n-1$，因此$i+len-1<2n$
取区间右端点$j=i+len-1$，在$i\le k<j$范围内枚举分割点$k$，执行状态转移方程。
最后，枚举$b$序列上所有长为$n$的区间，包括$[1,n],[2,n+1],...,[n-1,2n-2],[n,2n-1]$，即$[i,i+n-1],1\le i\le n$。求出每个区间的状态值$d{p}_{i,i+n-1}$的最大值，即为合并环形序列上珠子能获得的最大能量。

【题解代码】

解法1：区间动规 破环为链

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 205
int a[N], n, ans, dp[N][N];//dp[i][j]：第i珠子到第j珠子有聚合方案中，释放的能量最大的方案的能量   
int main()
{cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a[i];a[i+n] = a[i];}for(int len = 2; len <= n; ++len)//由于都是正整数，求最大值。dp初值为很小的值，可以为0。dp[i][i] = 0 {for(int i = 1; i+len-1 < 2*n; ++i){int j = i+len-1;for(int k = i; k < j; ++k)dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]); }}for(int i = 1; i <= n; ++i)ans = max(ans, dp[i][i+n-1]);cout << ans;return 0;
}
``