《高等数学》（同济大学·第7版）第一章第七节无穷小的比较

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一、核心知识点完全解读

1. 无穷小的定义

• 通俗理解：当x趋近某个值（如0或∞）时，函数值无限接近于0的量。例如：x→0时，x²、sinx都是无穷小。
• 关键点：必须指明趋近过程（如x→0或x→∞）。

2. 无穷小的比较（重点）
设α和β是同一趋近过程中的无穷小：

• 高阶无穷小（α=o(β)）：lim(α/β)=0
  → 表示α比β更快趋近于0，例如x→0时，x³是x²的高阶无穷小
• 低阶无穷小：lim(α/β)=∞
  → 表示α比β更慢趋近于0，例如x→0时，√x是x的低阶无穷小
• 同阶无穷小：lim(α/β)=C（C≠0的常数）
  → 表示α和β趋近速度相当，例如x→0时，2x与x是同阶无穷小
• 等价无穷小（α~β）：lim(α/β)=1
  → 表示α和β趋近速度几乎相同，例如x→0时，sinx ~ x

3. 常用等价无穷小（x→0时）

• sinx ~ x
• tanx ~ x
• e^x -1 ~ x
• ln(1+x) ~ x
• (1+x)^a -1 ~ ax

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二、应用场景深度解析

1. AI中的应用

• 梯度下降法的步长选择：
  学习率（步长）η作为无穷小量，需满足：

  • 一阶优化算法要求η与梯度同阶（同阶无穷小）
  • 自适应算法（如Adam）会自动调整η的阶数
    → 对应知识点：同阶无穷小的控制

• 神经网络权重初始化：
  当使用Xavier初始化时，要求权重w与1/√n同阶（n为输入维度）
  → 对应知识点：同阶无穷小的比例关系

2. 量化金融中的应用

• 高频交易的定价误差分析：
  微秒级延迟导致的定价误差ΔP是成交价P的高阶无穷小（ΔP=o§）时，可忽略不计
  → 对应知识点：高阶无穷小的实际意义

• 风险价值（VaR）计算：
  极端事件损失ΔL与常规损失L的关系分析：

  • 同阶无穷小→需要对冲
  • 高阶无穷小→可接受风险
    → 对应知识点：无穷小阶数的风险分类

3. 通用工程应用

• 泰勒展开的误差估计：
  用等价无穷小替换简化计算，例如：
  sinx ≈ x - x³/6 时，误差项是x⁵的高阶无穷小
  → 对应知识点：等价无穷小替换原理

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三、典型例题精讲

例1：比较x→0时，tanx-sinx与x³的关系

• 步骤1：用等价无穷小替换
  tanx ~ x，sinx ~ x → 直接相减得0（错误！）
• 步骤2：精确展开到三阶
  tanx = x + x³/3 + …
  sinx = x - x³/6 + …
  tanx-sinx = (x³/2) + …
  ∴ tanx-sinx与x³是同阶无穷小

例2：AI中的学习率衰减
设第k次迭代的学习率η_k = 1/k^0.6：

• η_k是1/k的低阶无穷小（因为lim (1/k^0.6)/(1/k) = lim k^(-0.4) = 0）
• 说明学习率衰减过快，可能导致收敛失败

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四、常见错误警示

1. 错误使用等价替换

   • 错误案例：lim(x→0) (tanx-sinx)/x³ 直接替换为(x-x)/x³=0
   • 正确做法：必须展开到足够高阶数

2. 忽略趋近过程

   • 错误说法：“sinx是无穷小”（缺少x→0的条件）

3. 混淆阶数比较

   • 常见混淆：认为x→0时，x²既是x的高阶无穷小，也是x³的低阶无穷小
   • 正确理解：阶数比较是相对的，必须明确比较对象

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