动态规划（10）：状态压缩
引言
状态压缩动态规划结合了位运算与动态规划的思想，用于解决一类特殊的组合优化问题。
当问题的状态空间较小（通常元素数量不超过20个），但状态之间的关系复杂时，状态压缩动态规划往往能够提供优雅而高效的解决方案。
状态压缩的基本原理
什么是状态压缩动态规划
状态压缩动态规划（State Compression Dynamic Programming，简称状压DP）是动态规划的一种特殊形式，它使用二进制数来表示和存储状态。状态压缩的核心思想是：将一组元素的选择状态编码为一个整数的二进制表示，从而大大简化状态的表示和转移过程。
在传统动态规划中，我们通常使用数组或矩阵来表示状态。而在状态压缩动态规划中，我们利用一个整数的二进制位来表示集合中每个元素是否被选择：如果第i位为1，表示第i个元素被选择；如果为0，表示未被选择。
例如，对于一个包含5个元素的集合{A, B, C, D, E}，二进制数10101（十进制值为21）表示选择了元素A、C和E（从右到左数第1、3、5位为1）。
状态压缩的适用条件
状态压缩动态规划主要适用于以下情况：
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状态数量有限：由于使用二进制表示状态，对于n个元素的集合，总共有2n种可能的状态。因此，n通常不能太大，一般不超过20（否则状态数量会超过106，导致时间和空间复杂度过高）。
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状态之间存在递推关系：问题的解可以通过子问题的解递推得到，符合动态规划的基本要求。
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需要考虑元素的组合关系：问题涉及到元素的选择、排列或组合，而不仅仅是单个元素的性质。
状态压缩的优势
状态压缩动态规划相比传统方法有以下优势：
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状态表示简洁：使用一个整数就能表示一组元素的选择状态，避免了使用多维数组带来的复杂性。
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状态转移高效：利用位运算可以快速进行状态之间的转换和判断，提高算法效率。
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内存占用小：相比多维数组，使用整数表示状态大大减少了内存占用。
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适合处理组合问题：特别适合解决需要考虑元素组合关系的问题，如集合覆盖、分配问题等。
状态压缩的基本步骤
实现状态压缩动态规划通常遵循以下步骤：
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定义状态：确定如何用二进制位表示问题的状态，明确每一位的含义。
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设计状态转移方程：确定状态之间的递推关系，通常涉及位运算操作。
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初始化边界条件：设置初始状态的值。
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按照合适的顺序进行状态转移：通常需要枚举所有可能的状态，并按照依赖关系进行计算。
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提取最终结果：从最终状态中得到问题的解。
位运算在状态压缩中的应用
在状态压缩动态规划中，位运算是一个核心工具，它使我们能够高效地操作和转换状态。下面介绍一些在状态压缩中常用的位运算技巧。
基本位运算操作
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检查第i位是否为1：
(state >> i) & 1或state & (1 << i)- 例如，检查状态21（二进制10101）的第3位：
(21 >> 3) & 1 = 1，表示第3位为1
- 例如，检查状态21（二进制10101）的第3位：
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将第i位设置为1：
state | (1 << i)- 例如，将状态21（二进制10101）的第2位设置为1：
21 | (1 << 2) = 21 | 4 = 25（二进制11001）
- 例如，将状态21（二进制10101）的第2位设置为1：
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将第i位设置为0：
state & ~(1 << i)- 例如，将状态21（二进制10101）的第3位设置为0：
21 & ~(1 << 3) = 21 & ~8 = 21 & 247 = 13（二进制01101）
- 例如，将状态21（二进制10101）的第3位设置为0：
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切换第i位的值：
state ^ (1 << i)- 例如，切换状态21（二进制10101）的第3位：
21 ^ (1 << 3) = 21 ^ 8 = 13（二进制01101）
- 例如，切换状态21（二进制10101）的第3位：
集合操作的位运算表示
在状态压缩中，我们经常需要对集合进行操作，这些操作可以通过位运算高效实现：
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并集（Union）：
A | B- 例如，{A, C, E}（二进制10101）和{B, D}（二进制01010）的并集：
10101 | 01010 = 11111，表示{A, B, C, D, E}
- 例如，{A, C, E}（二进制10101）和{B, D}（二进制01010）的并集：
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交集（Intersection）：
A & B- 例如，{A, B, C}（二进制00111）和{B, C, D}（二进制01110）的交集：
00111 & 01110 = 00110，表示{B, C}
- 例如，{A, B, C}（二进制00111）和{B, C, D}（二进制01110）的交集：
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差集（Difference）：
A & ~B- 例如，{A, B, C}（二进制00111）减去{B, D}（二进制01010）：
00111 & ~01010 = 00111 & 10101 = 00101，表示{A, C}
- 例如，{A, B, C}（二进制00111）减去{B, D}（二进制01010）：
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判断A是否为B的子集：
(A & B) == A- 例如，判断{A, C}（二进制00101）是否为{A, B, C, D}（二进制01111）的子集：
(00101 & 01111) == 00101，结果为true
- 例如，判断{A, C}（二进制00101）是否为{A, B, C, D}（二进制01111）的子集：
枚举子集的技巧
在状态压缩动态规划中，一个常见的操作是枚举一个集合的所有子集，这可以通过以下方式实现：
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枚举集合state的所有子集：
subset = state while subset > 0:# 处理子集subsetsubset = (subset - 1) & state -
枚举集合state的所有非空真子集：
subset = state while subset > 0:if subset != state:# 处理真子集subsetsubset = (subset - 1) & state -
计算二进制中1的个数：
def count_ones(n):count =