《高等数学》（同济大学·第7版）第一章第四节《无穷小与无穷大》的超级详细

一、核心概念

1. 无穷小量

• 定义：当x→x0时，函数f(x)的极限为0，称f(x)为无穷小量
• 例子：x→0时，x²、sinx都是无穷小量
• 特点：无限接近于0但不等于0

2. 无穷大量

• 定义：当x→x0时，函数f(x)的绝对值无限增大
• 例子：x→0时，1/x是无穷大量
• 注意：无穷大不是一个具体的数

二、两者关系

1. 互为倒数关系：

   • 如果α(x)是无穷小（且≠0），则1/α(x)是无穷大
   • 如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小

2. 例子：

   • x→0时，x是无穷小，1/x是无穷大
   • x→π/2时，tanx是无穷大，cotx是无穷小

三、无穷小的比较（重点）

1. 比较标准：
   设α(x)和β(x)都是无穷小：

• 高阶无穷小：α(x)/β(x)→0
• 低阶无穷小：α(x)/β(x)→∞
• 同阶无穷小：α(x)/β(x)→c（c≠0）
• 等价无穷小：α(x)/β(x)→1

2. 常见等价无穷小（x→0时）：
   sinx ≈ x
   tanx ≈ x
   1-cosx ≈ (1/2)x²
   e^x-1 ≈ x
   ln(1+x) ≈ x

四、应用技巧

1. 极限计算：

   • 高阶无穷小可以忽略
   • 等价无穷小可以替换

2. 例子：
   计算lim(x→0) (sin3x)/(tan5x)：
   用等价替换→ (3x)/(5x) = 3/5

五、注意事项

1. 无穷小必须指明趋近过程（如x→0还是x→1）
2. 无穷大不是一个数，不能参与普通运算
3. 等价替换只能在乘除中使用，加减时需谨慎

六、实际应用

1. 工程计算：忽略高阶小量简化计算
2. 误差分析：用无穷小估计误差范围
3. 物理建模：用无穷小量描述瞬时变化

七、AI中的具体应用
梯度下降算法：
学习率η选择无穷小量（如η=1e-5）
动量项中的β系数控制更新步长的衰减速度
损失函数优化：
当loss→0时，可视为无穷小量
早停机制（Early Stopping）判断loss变化量<ε（极小阈值）
正则化处理：
L2正则化项λ‖w‖²中，λ→0+表示惩罚趋近无穷小

八、量化交易中的应用
高频交易：
订单薄中的微小价差Δp→0（无穷小量）
使用lim(Δp→0)计算瞬时买卖压力
风险控制：
极端行情下VaR值→∞（无穷大量）
止损条件：当|ΔP|>M（M→+∞时触发熔断）
套利策略：
统计套利中的价差收敛→0（无穷小）
市场中性策略要求多空头寸差→0
九、典型场景示例
AI案例：
激活函数ReLU的导数在x=0⁻→0，x=0⁺→1
反向传播时忽略高阶无穷小项（如O(Δx²)）
量化案例：
期权定价中的Δ→0（对冲频率无限提高）
做市商报价的买卖价差δ→0（理想市场）