【DSP数字信号处理】期末复习笔记（二）

续【DSP数字信号处理】期末复习笔记（一）。

四、题型三：IIR 和 FIR 信号流图

1. IIR 和 FIR 系统定义

• FIR (Finite Impulse Response) 系统： 单位脉冲响应 $h[n]$ 是有限长的。
  • 系统函数 $H(z)$ 是 $z^{-1}$ 的多项式，所有极点都在 $z=0$ 处 (如果将 $H(z)$ 写成 $z$ 的正幂次形式，分母为 $z^N$ 形式)。
• IIR (Infinite Impulse Response) 系统： 单位脉冲响应 $h[n]$ 是无限长的。
  • 系统函数 $H(z)$ 化简后，至少存在一个极点不在 $z=0$ 处。

2. IIR 系统基本结构

$H(z)=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}}{1+{\sum }_{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}$ (注意分母常数项为1，若不是，则分子分母同除以该常数)

1. 直接I型 (Direct Form I):

   • 先实现分子 (FIR部分，零点)，再实现分母 (IIR反馈部分，极点)。
   • $H(z)=H_{FIR}(z)H_{IIR,pole}(z)$ where $H_{FIR}(z)=\sum b_k{z}^{-k}$ (前馈), $H_{IIR,pole}(z)=\frac{1}{1+\sum a_k{z}^{-k}}$ (反馈)。
   • 延迟器数量为 $M+N$。
   • 画图时，分子系数 $b_k$ 不变号，分母系数 $a_k$ 在反馈支路上要变号为 $-a_k$。

2. 直接II型 (Direct Form II / Canonical Form):

   • 先实现分母 (IIR反馈部分，极点)，再实现分子 (FIR部分，零点)。
   • $H(z)=H_{IIR,pole}(z)H_{FIR}(z)$。
   • 共享延迟器，延迟器数量为 $\max (M,N)$，是最节省延迟器的形式。
   • 画图时，分母系数 $a_k$ 在反馈支路上变号为 $-a_k$，分子系数 $b_k$ 不变号。

3. 级联型 (Cascade Form):

   • 将 $H(z)$ 分解为若干个一阶或二阶子系统函数的乘积：
     $H(z)=K\cdot H_1(z)H_2(z)\dots H_L(z)$
     其中 $H_i(z)=\frac{1+b_{i1}{z}^{-1}+b_{i2}{z}^{-2}}{1+a_{i1}{z}^{-1}+a_{i2}{z}^{-2}}$ (二阶节) 或 $\frac{1+b_{i1}{z}^{-1}}{1+a_{i1}{z}^{-1}}$ (一阶节)。
   • 每个子系统 $H_i(z)$ 通常用直接II型实现。

4. 并联型 (Parallel Form):

   • 将 $H(z)$ (需为真分式，即 $M<N$) 用部分分式展开为若干个子系统函数之和：
     $H(z)=C+{\sum }_{i=1}^L{H}_i(z)$ (C为常数，若 $H(z)$ 为假分式 $M\ge N$，则 $C={\sum }_{k=0}^{M-N}{c}_k{z}^{-k}$，通常 $C$ 是一个常数 $c_0$)
     其中 $H_i(z)$ 通常是一阶或二阶节，如 $\frac{A_i}{1-p_i{z}^{-1}}$ 或 $\frac{B_i{z}^{-1}+C_i}{1+a_{i1}{z}^{-1}+a_{i2}{z}^{-2}}$。
   • 每个子系统 $H_i(z)$ 通常用直接II型实现。

• 例：$H(z)=\frac{1-0.2z^{-1}}{1+0.1z^{-1}-0.06z^{-2}}$ 画出直接II型结构。
  $b_0=1,b_1=-0.2$
  $a_1=0.1,a_2=-0.06$
  延迟器数量 $\max (M,N)=\max (1,2)=2$。
  • 直接II型：
    1. 输入 $x[n]$。
    2. 中间节点 $w[n]$。
    3. 反馈部分：$w[n]=x[n]-a_{1}w[n-1]-a_{2}w[n-2]=x[n]-0.1w[n-1]+0.06w[n-2]$。
       画两个延迟器 $z^{-1}$ 串联，输入为 $w[n]$，输出分别为 $w[n-1]$ 和 $w[n-2]$。
       从 $w[n-1]$ 引出支路乘以 $-a_1=-0.1$ 加到 $x[n]$ 之后。
       从 $w[n-2]$ 引出支路乘以 $-a_2=0.06$ 加到 $x[n]$ 之后。
    4. 前馈部分：$y[n]=b_{0}w[n]+b_{1}w[n-1]=1\cdot w[n]-0.2w[n-1]$。
       从 $w[n]$ 引出支路乘以 $b_0=1$。
       从 $w[n-1]$ (第一个延迟器输出) 引出支路乘以 $b_1=-0.2$。
       两者相加得到 $y[n]$。

3. FIR 系统基本结构

$H(z)={\sum }_{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}$ (只有分子，或 $h[n]$)

1. 直接型 (Direct Form / Tapped Delay Line):

   • 一条延迟链，系数 $b_k$ (即 $h[k]$) 从延迟链的抽头引出加权求和。

2. 级联型 (Cascade Form):

   • 将 $H(z)$ 的零点配对（实数零点或共轭复数零点对），分解为一阶或二阶因子的乘积，每个因子用直接型实现。

3. 线性相位FIR系统结构 (Linear Phase FIR Structure):

   • 利用 $h[n]$ 的对称性 ($h[n]=h[M-n]$) 或反对称性 ($h[n]=-h[M-n]$) 来减少乘法器数量。
   • 四种类型： (M是滤波器的阶数，长度为M+1)
     • Type I: $h[n]$ 对称 ($h[n]=h[M-n]$)，长度 $M+1$ 为奇数 (M为偶数)。
     • Type II: $h[n]$ 对称 ($h[n]=h[M-n]$)，长度 $M+1$ 为偶数 (M为奇数)。
     • Type III: $h[n]$ 反对称 ($h[n]=-h[M-n]$)，长度 $M+1$ 为奇数 (M为偶数)。$h[M/2]=0$。
     • Type IV: $h[n]$ 反对称 ($h[n]=-h[M-n]$)，长度 $M+1$ 为偶数 (M为奇数)。
   • 画法 (以Type I为例，M为偶数):
     $y[n]={\sum }_{k=0}^{M}h[k]x[n-k]$
     $y[n]=h[0](x[n]+x[n-M])+h[1](x[n-1]+x[n-M+1])+\cdots +h[M/2-1](x[n-(M/2-1)]+x[n-(M/2+1)])+h[M/2]x[n-M/2]$
     1. 画出所有 $M$ 个延迟器。
     2. 将对称位置的输入信号 $x[n-k]$ 和 $x[n-(M-k)]$ 相加 (对称) 或相减 (反对称)，然后乘以共同的系数 $h[k]$。
     3. Type II 和 Type IV (长度偶数) 中间没有单独的项。
     4. Type III 和 Type IV 的反对称性体现在相减操作上。

• 例：$H(z)=1+2z^{-1}+3z^{-2}+2z^{-3}+z^{-4}$，画出其线性相位结构。
  h [ n ] = { 1 ↑ , 2 , 3 , 2 , 1 } h[n] = \{\underset{\uparrow}{1}, 2, 3, 2, 1\} h[n]={↑1​,2,3,2,1}。阶数 $M=4$ (偶数)，长度 $M+1=5$ (奇数)。
  $h[0]=h[4]=1$, $h[1]=h[3]=2$, $h[2]=3$。对称结构。
  此为 Type I FIR 滤波器。
  1. 画出4个延迟器 $z^{-1}$。输入 $x[n]$，输出依次为 $x[n-1],x[n-2],x[n-3],x[n-4]$。
  2. $(x[n]+x[n-4])$ 乘以系数 $h[0]=1$。
  3. $(x[n-1]+x[n-3])$ 乘以系数 $h[1]=2$。
  4. $x[n-2]$ 乘以系数 $h[2]=3$。
  5. 将三路结果相加得到 $y[n]$。乘法器数量为 $M/2+1=4/2+1=3$ 个。

五、题型四：IIR 滤波器设计

基本思想：利用成熟的模拟滤波器设计方法（如巴特沃斯、切比雪夫），然后通过变换将其转换为数字滤波器。

1. 脉冲响应不变法 (Impulse Invariance Method)

• 思想： 使数字滤波器的单位脉冲响应 $h[n]$ 是原型模拟滤波器单位脉冲响应 $h_a(t)$ (或 $h_c(t)$) 的采样，并乘以采样周期 $T_d$ (或 $T$)。
  $h[n]=T_d\cdot h_a(n{T}_d)$

• 系统函数转换：
  若模拟滤波器 $H_a(s)={\sum }_{k=1}^N\frac{A_k}{s-s_k}$ (部分分式展开，无重根， $s_k$ 是极点)
  则数字滤波器 $H(z)={\sum }_{k=1}^N\frac{T_d{A}_k}{1-e^{s_k{T}_d}{z}^{-1}}$

• 频率响应映射：
  $\omega =\Omega T_d$ (其中 $\omega$ 是数字角频率，$\Omega$ 是模拟角频率)
  $H(e^{j\omega })={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }{H}_a(j(\frac{\omega }{T_d}-k\frac{2\pi }{T_d}))$
  存在频谱混叠问题！因为模拟滤波器的频率响应通常不是严格带限的。
  因此，此方法主要适用于设计低通和带通滤波器，且要求模拟滤波器在折叠频率 ${\Omega }_s/2=\pi /T_d$ 之外有足够衰减。

• 设计步骤：

  1. 确定数字滤波器指标（如截止频率 ${\omega }_p,{\omega }_s$，衰减 $A_p,A_s$）。
  2. 选择采样周期 $T_d$ (若未给出，可根据最高频率估算或题目指定)。
  3. 将数字频率指标转换为模拟频率指标：${\Omega }_p={\omega }_p/T_d,{\Omega }_s={\omega }_s/T_d$。
  4. 根据模拟指标设计模拟滤波器 $H_a(s)$ (如巴特沃斯、切比雪夫)。
  5. 将 $H_a(s)$ 部分分式展开。
  6. 利用转换公式 $A_k/(s-s_k)\to T_d{A}_k/(1-e^{s_k{T}_d}{z}^{-1})$ 得到 $H(z)$。

• 例：已知模拟滤波器 $H_a(s)=\frac{s+1}{s^2+5s+6}$，用脉冲响应不变法设计数字滤波器 $H(z)$，设 $T_d=0.1$s。

  1. 部分分式展开 $H_a(s)$：
     $s^2+5s+6=(s+2)(s+3)$
     $H_a(s)=\frac{s+1}{(s+2)(s+3)}=\frac{A_1}{s+2}+\frac{A_2}{s+3}$
     $A_1=[(s+2)H_a(s){]}_{s=-2}=\frac{-2+1}{-2+3}=\frac{-1}{1}=-1$
     $A_2=[(s+3)H_a(s){]}_{s=-3}=\frac{-3+1}{-3+2}=\frac{-2}{-1}=2$
     所以 $H_a(s)=\frac{-1}{s-(-2)}+\frac{2}{s-(-3)}$。
     这里 $s_1=-2,s_2=-3$。
  2. 转换为 $H(z)$：
     $H(z)=\frac{T_d{A}_1}{1-e^{s_1{T}_d}{z}^{-1}}+\frac{T_d{A}_2}{1-e^{s_2{T}_d}{z}^{-1}}$
     $H(z)=\frac{0.1(-1)}{1-e^{-2\cdot 0.1}{z}^{-1}}+\frac{0.1(2)}{1-e^{-3\cdot 0.1}{z}^{-1}}$
     $H(z)=\frac{-0.1}{1-e^{-0.2}{z}^{-1}}+\frac{0.2}{1-e^{-0.3}{z}^{-1}}$
     $e^{-0.2}\approx 0.8187$, $e^{-0.3}\approx 0.7408$
     $H(z)=\frac{-0.1}{1-0.8187z^{-1}}+\frac{0.2}{1-0.7408z^{-1}}$

2. 双线性变换法 (Bilinear Transformation Method)

• 思想： 将整个 $s$ 平面的虚轴 $j\Omega$ 非线性地、一对一地映射到 $z$ 平面的单位圆 $e^{j\omega }$ 上，从而避免频谱混叠。

• 转换公式：
  $s=\frac{2}{T_d}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$

• 频率响应映射 (频率预畸变 - Prewarping)：
  由于 $s=j\Omega$ 和 $z=e^{j\omega }$ 的关系是非线性的，数字域的临界频率 ${\omega }_c$ 对应模拟域的临界频率 ${\Omega }_c$ 关系为：
  ${\Omega }_c=\frac{2}{T_d}\tan (\frac{{\omega }_c}{2})$
  反之，${\omega }_c=2\arctan (\frac{{\Omega }_c{T}_d}{2})$

• 设计步骤：

  1. 确定数字滤波器指标（如 ${\omega }_p,{\omega }_s,A_p,A_s$）。
  2. 选择采样周期 $T_d$。
  3. 预畸变： 将数字频率指标通过 $\Omega =\frac{2}{T_d}\tan (\frac{\omega }{2})$ 转换为模拟滤波器对应的频率指标 ${\Omega }_p,{\Omega }_s$。
  4. 根据预畸变后的模拟指标设计模拟滤波器 $H_a(s)$。
  5. 将 $H_a(s)$ 中的 $s$ 替换为 $\frac{2}{T_d}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ 得到 $H(z)$。

• 例：设计一个数字低通巴特沃斯滤波器，要求通带截止频率 $f_p=1$kHz，通带最大衰减 $1$dB。采样频率 $f_s=10$kHz。

  1. 数字频率指标：
     $T_d=1/f_s=1/10000=10^{-4}$ s。
     ${\omega }_p=2\pi f_p/f_s=2\pi (1000)/10000=0.2\pi$ rad。
  2. 预畸变：
     ${\Omega }_p=\frac{2}{T_d}\tan (\frac{{\omega }_p}{2})=\frac{2}{10^{-4}}\tan (\frac{0.2\pi }{2})=2\cdot 10^4\tan (0.1\pi )$
     $\tan (0.1\pi )\approx \tan (18^{\circ })\approx 0.3249$
     ${\Omega }_p\approx 2\cdot 10^4\cdot 0.3249=6498$ rad/s。
  3. 设计模拟滤波器：
     对于一阶巴特沃斯滤波器，$H_a(s)=\frac{{\Omega }_p}{s+{\Omega }_p}$ (幅度在 ${\Omega }_p$ 处为 $1/\sqrt{2}$，即-3dB。若要求-1dB，则阶数可能更高或公式不同，这里以-3dB为例简化)。
     $H_a(s)=\frac{6498}{s+6498}$
  4. 双线性变换：
     $s=\frac{2}{10^{-4}}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}=2\cdot 10^4\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$
     $H(z)=\frac{6498}{2\cdot 10^4\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+6498}=\frac{6498(1+z^{-1})}{20000(1-z^{-1})+6498(1+z^{-1})}$
     $H(z)=\frac{6498(1+z^{-1})}{(20000+6498)+(-20000+6498)z^{-1}}=\frac{6498(1+z^{-1})}{26498-13502z^{-1}}$
     $H(z)\approx \frac{0.2452(1+z^{-1})}{1-0.5095z^{-1}}$

3. 方法对比

特性	脉冲响应不变法	双线性变换法
$s\to z$ 映射	$s_k\to e^{s_k{T}_d}$ (极点映射)	$s\to \frac{2}{T_d}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ (全平面映射)
频率映射	$\omega =\Omega T_d$ (线性)	$\Omega =\frac{2}{T_d}\tan (\frac{\omega }{2})$ (非线性，需预畸变)
频谱混叠	存在	不存在
适用滤波器类型	主要用于低通、带通 (对高频衰减要求高)	低通、高通、带通、带阻 (除理想微分器等)
冲激响应	$h[n]=T_d{h}_a(n{T}_d)$ (保持形状)	无简单关系，不保持冲激响应形状
直流特性	不一定保持 ($H(e^{j0})\ne H_a(j0)$)	保持 ($H(e^{j0})=H_a(j0)$)
稳定性	若模拟滤波器稳定，则数字滤波器稳定	若模拟滤波器稳定，则数字滤波器稳定

六、题型五：离散傅里叶变换 (DFT)

1. 离散傅里叶级数 (DFS)

• 用于周期序列 $\tilde{x}[n]$ (周期为 $N$)。
• DFS对：
  • 分析式 (求频谱系数)：$\tilde{X}[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}={\sum }_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]W_N^{kn}$
  • 综合式 (由频谱恢复序列)：$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}=\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]W_N^{-kn}$
  • 其中 $W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$。
• $\tilde{X}[k]$ 也是周期为 $N$ 的周期序列。
• 周期序列的DTFT：$X_{DTFT}(e^{j\omega })={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\frac{2\pi }{N}\tilde{X}[k]\delta (\omega -\frac{2\pi k}{N}(\mathrm{mod}2\pi ))$
  结论：周期序列的频谱是离散的（谱线），只在 ${\omega }_k=2\pi k/N$ 处有值。

2. 离散傅里叶变换 (DFT)

• 用于有限长序列 $x[n]$ (假设长度为 $M$)，或周期序列的一个主周期。

• DFT计算的是序列DTFT在 $[0,2\pi )$ 上的 $N$ 个等间隔频率点的采样值 (通常取 $N\ge M$)。

• $N$点DFT对： (对长度为 $M$ 的序列 $x[n]$，若 $N>M$，则 $x[n]$ 尾部补零到 $N$ 点；若 $N<M$，会发生时域混叠)

  • 分析式：$X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}$, $k=0,1,\dots ,N-1$
  • 综合式 (IDFT)：$x[n]=\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}$, $n=0,1,\dots ,N-1$

• DFT与DTFT的关系：
  $X[k]=X_{DTFT}(e^{j\omega }){|}_{\omega =\frac{2\pi k}{N}}$, for $k=0,1,\dots ,N-1$.
  DFT是DTFT在 $N$ 个频率点上的采样。

• DFT与DFS的关系：
  若 $\tilde{x}[n]$ 是 $x[n]$ (长度 $M\le N$) 以 $N$ 为周期的周期延拓，则 $\tilde{X}[k]$ (DFS系数) 等于 $X[k]$ (DFT系数)。
  $X[k]=\tilde{X}[k]$ for $k=0,\dots ,N-1$.
  $x[n]$ (IDFT结果) 是 $\tilde{x}[n]$ (IDFS结果) 的一个主值周期。

• 例：求序列 x [ n ] = { 1 ↑ , 2 , 3 , 4 } x[n]=\{\underset{\uparrow}{1}, 2, 3, 4\} x[n]={↑1​,2,3,4} 的4点DFT。
  $x[0]=1,x[1]=2,x[2]=3,x[3]=4$。 $N=4$。 $W_4=e^{-j2\pi /4}=e^{-j\pi /2}=-j$。
  $X[k]={\sum }_{n=0}^{3}x[n]W_4^{kn}$

  • $X[0]=\sum x[n]W_4^0=x[0]+x[1]+x[2]+x[3]=1+2+3+4=10$
  • $X[1]=x[0]W_4^0+x[1]W_4^1+x[2]W_4^2+x[3]W_4^3$
    $=1(1)+2(-j)+3(-j{)}^2+4(-j{)}^3$
    $=1-2j+3(-1)+4(j)=1-2j-3+4j=-2+2j$
  • $X[2]=x[0]W_4^0+x[1]W_4^2+x[2]W_4^4+x[3]W_4^6$
    $=1(1)+2(-1)+3(1)+4(-1{)}^3=1-2+3-4=-2$
    ($W_4^4=(W_4^2{)}^2=(-1{)}^2=1$, $W_4^6=W_4^2\cdot W_4^4=-1\cdot 1=-1$)
  • $X[3]=x[0]W_4^0+x[1]W_4^3+x[2]W_4^6+x[3]W_4^9$
    $=1(1)+2(j)+3(-1)+4(W_4^1\cdot W_4^8=-j\cdot 1=-j)$
    $=1+2j-3-4j=-2-2j$
    所以， X [ k ] = { 10 , − 2 + 2 j , − 2 , − 2 − 2 j } X[k] = \{10, -2+2j, -2, -2-2j\} X[k]={10,−2+2j,−2,−2−2j}。
    注意：对于实序列 $x[n]$，$X[k]$ 具有共轭对称性 $X[k]=X^{\ast }[N-k]$。
    $X[3]=X^{\ast }[4-3]=X^{\ast }[1]$。 $(-2-2j)=(-2+2j{)}^{\ast }$。

3. DFT性质

• 线性、周期性 ($X[k+N]=X[k],x[n+N]=x[n]$ 隐含在DFT定义中)

• 循环移位 (Circular Shift):
  $x((n-m){)}_N\leftrightarrow W_N^{km}X[k]$
  $W_N^{-ln}x[n]\leftrightarrow X((k-l){)}_N$
  $((n-m){)}_N$ 表示对 $n-m$ 模 $N$ 运算 (结果在 $0\dots N-1$ 之间)。

• 循环卷积 (Circular Convolution):
  $y[n]=x_1[n]{⊛}_N{x}_2[n]={\sum }_{m=0}^{N-1}{x}_1[m]x_2((n-m){)}_N\leftrightarrow X_1[k]X_2[k]$

  • 计算方法 (时域)：
    1. 将 $x_2[m]$ 保持不动。
    2. 将 $x_1[m]$ 反转得到 $x_1[-m]$。
    3. 将 $x_1[-m]$ 循环右移 $n$ 位得到 $x_1((n-m){)}_N$。
    4. $x_1((n-m){)}_N$ 与 $x_2[m]$ 对应相乘并求和。
  • 通过线性卷积计算循环卷积：
    1. 计算 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$ 的线性卷积 $y_L[n]$ (长度 $M_1+M_2-1$)。假设 $x_1,x_2$ 长度都为 $N$ (或已补零到 $N$)。则 $y_L[n]$ 长度为 $2N-1$。
    2. $N$ 点循环卷积 $y[n]$ 是 $y_L[n]$ 以 $N$ 为周期的混叠版本：
       $y[n]={\sum }_{r=0}^{\lfloor (L-1)/N\rfloor }{y}_L[n+rN]$ for $n=0,\dots ,N-1$, 其中 $L=M_1+M_2-1$。
       (即将 $y_L[n]$ 中从第 $N$ 个点开始的部分，周期性地叠加到前面 $N$ 点上)

• 例： x 1 [ n ] = { 1 ↑ , 2 , 1 , 0 } x_1[n]=\{\underset{\uparrow}{1},2,1,0\} x1​[n]={↑1​,2,1,0}, x 2 [ n ] = { 1 ↑ , 1 , 2 , 0 } x_2[n]=\{\underset{\uparrow}{1},1,2,0\} x2​[n]={↑1​,1,2,0} (均为4点序列)。求4点循环卷积。

  1. 线性卷积 $y_L[n]$:
     $x_1[n]$: $1,2,1,0$
     $x_2[n]$: $1,1,2,0$

           1   2   1   0
     x     1   1   2   0
     --------------------0   0   0   0   (x0)2   4   2   0     (x2, shifted)1   2   1   0       (x1, shifted)
     1   2   1   0         (x1, shifted)
     --------------------
     1   3   5   3   2   0   0
     

     y L [ n ] = { 1 , 3 , 5 , 3 , 2 , 0 , 0 } y_L[n] = \{1, 3, 5, 3, 2, 0, 0\} yL​[n]={1,3,5,3,2,0,0} (长度 $4+4-1=7$)
     $y_L[0]=1,y_L[1]=3,y_L[2]=5,y_L[3]=3,y_L[4]=2,y_L[5]=0,y_L[6]=0$

  2. 4点循环卷积 $y[n]$: $N=4$.
     $y[0]=y_L[0]+y_L[4]=1+2=3$
     $y[1]=y_L[1]+y_L[5]=3+0=3$
     $y[2]=y_L[2]+y_L[6]=5+0=5$
     $y[3]=y_L[3]=3$
     y [ n ] = { 3 ↑ , 3 , 5 , 3 } y[n] = \{\underset{\uparrow}{3}, 3, 5, 3\} y[n]={↑3​,3,5,3}

• 对称性、Parseval定理等。

• 补零 (Zero-padding):
  在有限长序列 $x[n]$ (长度 $M$) 尾部补 $L$ 个零，得到长度为 $N=M+L$ 的新序列 $x_p[n]$。
  $X_p[k]$ (N点DFT) 是 $X_{DTFT}(e^{j\omega })$ (原序列DTFT) 在 $N$ 个点上的采样。
  补零不改变DTFT的包络形状，但增加了DFT的采样点数（提高了频率分辨率），使DFT谱更精细，能更好显示DTFT的细节。补零可以用来通过FFT计算线性卷积。

七、题型六：快速傅里叶变换 (FFT)

FFT是DFT的一种高效算法，利用旋转因子 $W_N^{kn}$ 的对称性和周期性减少运算量。主要有时间抽取 (DIT) 和频率抽取 (DIF) 两大类。

1. DIT-FFT (Decimation-In-Time FFT / 时域抽取法)

• 基本思想： 将输入序列 $x[n]$ 按奇偶项分解为两个 $N/2$ 点的子序列。
  $X[k]={\sum }_{m=0}^{N/2-1}x[2m]W_N^{2mk}+{\sum }_{m=0}^{N/2-1}x[2m+1]W_N^{(2m+1)k}$
  利用 $W_N^2=W_{N/2}$，
  $X[k]={\sum }_{m=0}^{N/2-1}{x}_{even}[m]W_{N/2}^{mk}+W_N^k{\sum }_{m=0}^{N/2-1}{x}_{odd}[m]W_{N/2}^{mk}$
  $X[k]=G[k]+W_N^{k}H[k]$ for $k=0,\dots ,N-1$ (注意 $G[k]$ 和 $H[k]$ 是 $N/2$ 点DFT，周期为 $N/2$)
• 对于 $k=0,\dots ,N/2-1$:
  $X[k]=G[k]+W_N^{k}H[k]$
• 利用 $W_N^{k+N/2}=-W_N^k$ 和 $G[k+N/2]=G[k],H[k+N/2]=H[k]$:
  $X[k+N/2]=G[k]-W_N^{k}H[k]$ for $k=0,\dots ,N/2-1$
• 蝶形运算 (Butterfly Operation):
  输入 $A,B$，旋转因子 $W_N^p$。
  输出 $A^{\prime }=A+W_N^{p}B$
  输出 $B^{\prime }=A-W_N^{p}B$
• 特点：
  • 输入序列需要按位倒序 (bit-reversed order) 排列。
  • 输出序列是自然顺序 (natural order)。
  • 逐级分解，直到2点DFT。

2. DIF-FFT (Decimation-In-Frequency FFT / 频域抽取法)

• 基本思想： 将输出序列 $X[k]$ 按奇偶项分解。
  $x[n]$ 分为前半部分 $x_1[n]=x[n]$ 和后半部分 $x_2[n]=x[n+N/2]$ for $n=0,\dots ,N/2-1$.
  $X[2k]={\sum }_{n=0}^{N/2-1}(x[n]+x[n+N/2])W_{N/2}^{kn}$ (偶数频率分量DFT)
  $X[2k+1]={\sum }_{n=0}^{N/2-1}((x[n]-x[n+N/2])W_N^n)W_{N/2}^{kn}$ (奇数频率分量DFT)
• 蝶形运算：
  输入 $A,B$。
  输出 $A^{\prime }=A+B$
  输出 $B^{\prime }=(A-B)W_N^p$ (旋转因子在输出端)
• 特点：
  • 输入序列是自然顺序。
  • 输出序列需要按位倒序排列。

3. 蝶形图 (Butterfly Diagram) - 以8点DIT-FFT为例

• $N=8=2^3$ 点FFT有 $M={\log }_{2}N=3$ 级。
• 输入位倒序：
  $x[000]\to x[0]$
  $x[001]\to x[4]$
  $x[010]\to x[2]$
  $x[011]\to x[6]$
  $x[100]\to x[1]$
  $x[101]\to x[5]$
  $x[110]\to x[3]$
  $x[111]\to x[7]$
  输入顺序为 $x[0],x[4],x[2],x[6],x[1],x[5],x[3],x[7]$。
• 第一级 (2点DFT)：
  $(x[0],x[4])\to (G_0[0],G_0[1])$ with $W_8^0$
  $(x[2],x[6])\to (G_1[0],G_1[1])$ with $W_8^0$
  $(x[1],x[5])\to (H_0[0],H_0[1])$ with $W_8^0$
  $(x[3],x[7])\to (H_1[0],H_1[1])$ with $W_8^0$
• 第二级 (4点DFT的组合)：
  $(G_0[0],G_1[0])$ with $W_8^0$ and $(G_0[1],G_1[1])$ with $W_8^2$ to form intermediate $X_{even}[\mathrm{0..3}]$
  $(H_0[0],H_1[0])$ with $W_8^0$ and $(H_0[1],H_1[1])$ with $W_8^2$ to form intermediate $X_{odd}[\mathrm{0..3}]$
• 第三级 (8点DFT的组合)：
  $(X_{even}[0],X_{odd}[0])$ with $W_8^0$
  $(X_{even}[1],X_{odd}[1])$ with $W_8^1$
  $(X_{even}[2],X_{odd}[2])$ with $W_8^2$
  $(X_{even}[3],X_{odd}[3])$ with $W_8^3$
  得到自然顺序的 $X[0],\dots ,X[7]$。

4. 计算量对比 (N点变换, $N=2^M$)

运算类型	DFT (直接计算)	FFT (基2)
复数乘法	$N^2$	$(N/2){\log }_{2}N$
复数加法	$N(N-1)$	$N{\log }_{2}N$

• 1次复数乘法 $\approx$ 4次实数乘法 + 2次实数加法
• 1次复数加法 $\approx$ 2次实数加法

FFT大大减少了运算量，特别是对于大的N。

八、总结：时域与频域的对偶关系

时域特性 (信号类型)	频域特性 (频谱类型)	对应变换 (主要数学工具)
连续，周期	离散，非周期	傅里叶级数 (FS - Fourier Series)
连续，非周期	连续，非周期	傅里叶变换 (FT - Fourier Transform)
离散，周期	离散，周期	离散傅里叶级数 (DFS - Discrete Fourier Series)
离散，非周期	连续，周期	离散时间傅里叶变换 (DTFT - Discrete-Time Fourier Transform)
(有限长序列)	(DTFT的N点等间隔采样)	(N点)离散傅里叶变换 (DFT - Discrete Fourier Transform)

• 一个域的离散性 $\iff$ 另一个域的周期性。
• 一个域的连续性 $\iff$ 另一个域的非周期性。