从线性方程组角度理解公式 s=n−r(3E−A)
从线性方程组角度理解公式 s=n−r(3E−A)
这个公式本质上是 齐次线性方程组解空间维度 的直接体现。下面通过三个关键步骤解释其在线性方程组中的含义：
1. 公式对应的线性方程组
考虑矩阵方程：
(3E−A)x=0
其中：
- x 是 n 维未知向量
- 3E−A 是系数矩阵（n×n 阶）
- 0 是零向量
几何意义：
该方程组描述所有被线性变换 A 缩放 3 倍的向量（即满足 Ax=3x 的向量）。
2. 解空间的维度 = 几何重数 s
- 方程组的 解集 构成一个向量空间（称为 特征子空间）。
- **s 的物理意义**：
解空间的维度，即线性无关解的个数。
例如：- 若 s=2，解空间是一个平面（2 个自由方向）
- 若 s=1，解空间是一条直线（1 个自由方向）
3. 秩 r(3E−A) 的约束作用
秩的线性方程组解释：
- 秩 r = 系数矩阵 3E−A 中 有效约束方程的数量
- 秩与自由度的关系：总变量数 独立约束数 自由变量数 nrs=n−r
示例（n=3）：
| 秩 r | 约束效果 | 解空间维度 s | 几何描述 |
|---|---|---|---|
| r=0 | 无约束（所有方程退化） | s=3 | 整个 3D 空间 |
| r=1 | 1 个有效约束（如 x+y+z=0) | s=2 | 一个平面 |
| r=2 | 2 个独立约束 | s=1 | 一条直线 |
| r=3 | 3 个独立约束（满秩） | s=0 | 仅零解（非特征向量） |
4. 公式的物理意义
s=n−r(3E−A)
- 分子：系统的总自由度（n 个变量）
- 分母：施加的独立约束数量（秩 r）
- 结果：剩余的自由度（即特征方向的个数）
这本质上是 秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem） 的直接应用：
dim(解空间)+\rank(系数矩阵)=变量总数
应用实例
设 3 阶矩阵 A 的特征值 λ=3（代数重数 2）：
-
情况 1：r(3E−A)=1
→ s=3−1=2
→ 解空间是 2 维平面 → 存在 2 个线性无关特征向量 → 矩阵可对角化。 -
情况 2：r(3E−A)=2
→ s=3−2=1
→ 解空间是 1 维直线 → 仅 1 个线性无关特征向量 → 矩阵不可对角化（需用若尔当标准型）。
总结：线性方程组的视角
- **s 是特征方程的自由度**：
描述 Ax=3x 的解空间的“活动空间大小”。 - 秩 r 是约束强度：
秩越高 → 约束越强 → 特征方向越少。 - 公式的核心：
通过系数矩阵的秩，量化了特征子空间的维度。
这在求解特征向量、判断矩阵对角化可能性时有核心应用。