leetcode179_最大数

1. 题意

给一个数组，你可以任意改变顺序来拼接组成一个大数；

问能组成的最大的数是多少。

答案是比较两个数前后拼接后的大小；我反正是觉得这种想法一点都不

自然。

还是抄下数学证明吧。

2. 证明

我们定义两个正数字符串的拼接操作符号为$\oplus$

$$a\oplus b=aS(b)+b$$
其中函数$S(x)$表示，超过$x$的最小整十进制数
$$S(x)=10^{\lfloor \lg x\rfloor +1}$$
特别地
$$S(0)=10$$
显然拼接操作是符合结合律的，当然证明没那么显然。

我们定义二元关系两个正整数$ab$的二元关系$@$

$$a@b:a\oplus b\ge b\oplus a$$

显然$ab$之间的关系要么是$a@b$，要么是$b@a$。

我们来证明$@$关系的传递性，也就是
$$a@b\cap b@c\Rightarrow a@c$$
代入定义
$$\begin{gathered} a@b\iff aS(b)+b\ge bS(a)+a \\ b@c\iff bS(c)+c\ge cS(b)+b \end{gathered}$$
整理变形
$$\begin{gathered} a(S(b)-1)\ge b(S(a)-1) \\ b(S(c)-1)\ge c(S(b)-1) \end{gathered}$$
两个不等式组左边乘左边，右边乘右边得到
$$ab(S(b)-1)(S(c)-1)\ge bc(S(b)-1)(S(a)-1)$$
我们发现有相同的项$b(S(b)-1)$, 还需要讨论$b$是否为$0$

当$b=0$时
$$\begin{gathered} bS(c)+c=c\ge cS(b)+b=10c\iff c\ge 10c \\ c=0 \\ aS(c)+c\ge cS(a)+a\iff 10a\ge a \end{gathered}$$
$a@c$成立。

当$b\ne 0$时，通过上面的不等式可以直接约去$b(S(b)-1)$得到

$$\begin{gathered} a(S(c)-1)\ge c(S(a)-1)\iff \\ aS(c)+c\ge cS(a)+a \end{gathered}$$
$a@c$也成立。

综上$@$关系的传递性也成立。

最后我们证明该排序规则的充分性：假设存在一个最优序列不满足该

排序规则，那么必然存在至少一对相邻数字 a 与 b，我们将 a 与 b 交

换后新序列的值必然增加，与假设矛盾。因此，满足该排序规则是该

序列最优的充分条件。

3. 拼接操作的结合律证明

$$a\oplus b\oplus c=a\oplus (b\oplus c)$$
左边代入计算得到
$$aS(b)S(c)+bS(c)+c$$
右边代入计算得到
$$aS(bS(c)+c)+bS(c)+c$$
只需要证明
$$aS(b)S(c)=aS(bS(c)+c)$$
即可

我们容易根据定义得到$S(x)$如下性质

$$S(x)=S(10^{\lfloor \lg x\rfloor })=10^{\lfloor \lg x\rfloor +1}$$
因此我们只需要在意$x$最高位数即可。

因此
$$S(bS(c)+c)=S(bS(c))$$
我们令$t_1=\lfloor b\rfloor ,t_2=\lfloor c\rfloor$

因此
$$S(b)S(c)=10^{t_1+1}10^{t_2+1}=10^{t_1+t_2+2}$$

另一方面
$$S(bS(c))=S(10^{t_2+1}b)=S(10^{t_1+t_2+1})=10^{t_1+t_2+2}$$
因此
$$S(bS(c)+c)=S(b)S(c)$$
综上
$$a\oplus b\oplus c=a\oplus (b\oplus c)$$
成立。

4. 代码

比起证明，代码变得索然无味了。

class Solution {
public:string largestNumber(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end(), [](int a, int b){std::string as = std::to_string( a );std::string bs = std::to_string( b );return as + bs > bs + as;});if ( nums[0] == 0)return std::string("0");std::string ans;for (int v : nums) {ans.append( std::to_string( v ));}return ans;}
};

参考

lc179
三叶姐的证明思路不错，但感觉局限在定长了，
提供另一个思考角度吧；还是官方的更加严谨一些。