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408《数据结构》——第二章：线性表

news 来源：原创 2025/6/3 10:33:21

文章目录

第二章：线性表
- 核心内容总结
- - 1. 线性表的定义与基本概念
  - 2. 线性表的顺序表示与实现（顺序表）
  - 3. 线性表的链式表示与实现（链表）
  - 4. 顺序表 vs. 链表的比较
  - 5. 线性表的应用
- 考研备考重点与难点
- 备考建议

考研408《数据结构》第二章“线性表”的详细总结，紧密结合考研要求，突出重点和难点。

第二章：线性表

线性表是整个数据结构的基础，也是考研中的绝对重点。本章内容逻辑清晰，但细节繁多，需要深入理解两种存储结构（顺序和链式）的实现原理、操作算法及其复杂度分析。

核心内容总结

1. 线性表的定义与基本概念

定义： 线性表（Linear List）是具有相同数据类型的 n (n ≥ 0) 个数据元素的有限序列。记作：L = (a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ)。
关键特性：
- 有限性： 元素个数有限。
- 相同类型： 所有元素属于同一数据对象。
- 序列性： 元素之间存在严格的顺序关系。
  - 存在唯一的“第一个”元素（表头元素，无直接前驱）。
  - 存在唯一的“最后一个”元素（表尾元素，无直接后继）。
  - 除表头和表尾元素外，每个元素 aᵢ (1 < i < n) 都有且仅有一个直接前驱 aᵢ₋₁ 和一个直接后继 aᵢ₊₁。
逻辑结构： 一对一的线性关系。是线性结构的典型代表。
基本操作（ADT定义的核心）：
- 初始化 InitList(&L): 构造一个空的线性表L。
- 销毁 DestroyList(&L): 释放线性表L占用的内存空间。
- 判空 ListEmpty(L): 若L为空表，则返回true，否则返回false。
- 求长度 ListLength(L): 返回L中数据元素的个数。
- 按位查找 GetElem(L, i, &e): 用e返回L中第 i (1 ≤ i ≤ n) 个元素的值。
- 按值查找 LocateElem(L, e): 返回L中第一个其值与 e 相等的元素的位序。若不存在，则返回0（或特定值）。
- 插入 ListInsert(&L, i, e): 在L的第 i (1 ≤ i ≤ n+1) 个位置之前插入新的元素 e。L的长度增1。
- 删除 ListDelete(&L, i, &e): 删除L的第 i (1 ≤ i ≤ n) 个位置的元素，并用 e 返回其值。L的长度减1。
- 遍历 ListTraverse(L, visit()): 依次对L的每个元素调用函数 visit() 进行操作（如打印）。
- (其他操作：清空、求前驱、求后继等，视具体ADT定义而定)
ADT定义： ADT List { ... } (包含上述基本操作)

2. 线性表的顺序表示与实现（顺序表）

存储原理： 用一组地址连续的存储单元依次存储线性表中的数据元素。逻辑上相邻的元素，其物理位置也相邻。
实现方式：
- 静态分配： 使用定长数组。#define MaxSize 50; ElemType data[MaxSize]; int length;
  - 优点： 简单。
  - 缺点： 空间大小固定，一旦 length > MaxSize 则发生上溢，无法动态扩展；容易造成空间浪费。
- 动态分配： 使用指针和动态内存分配。ElemType *data; int MaxSize, length; 初始化时 data = (ElemType*)malloc(sizeof(ElemType)*InitSize);
  - 优点： 可以动态扩展空间（使用 realloc）。
  - 缺点： 扩展时需要移动大量元素，开销大；仍可能存在空间分配失败问题。
特点：
- 随机访问： 通过首地址和元素序号（下标）可以在 O(1) 时间内访问任意元素。LOC(aᵢ) = LOC(a₁) + (i-1) * sizeof(ElemType)。
- 存储密度高： 只存储数据元素本身。

基本操作实现与时间复杂度分析：

操作	算法描述	最好情况	最坏情况	平均情况	说明
插入	1. 检查i合法性 (1≤i≤n+1) 2. 检查空间满？ 3. 将第i至第n个元素后移一位 4. 在位置i放入e 5. length++	O(1) (插表尾)	O(n) (插表头)	O(n)	移动次数 = n - i + 1
删除	1. 检查i合法性 (1≤i≤n) 2. 取aᵢ到e 3. 将第i+1至第n个元素前移一位 4. length–	O(1) (删表尾)	O(n) (删表头)	O(n)	移动次数 = n - i
按位查找	直接通过下标访问 data[i-1]	O(1)	O(1)	O(1)	随机访问特性
按值查找	顺序扫描数组，比较元素值	O(1) (在表头)	O(n) (在表尾/不存在)	O(n)
求长度	返回length	O(1)	O(1)	O(1)
判空	判断length == 0	O(1)	O(1)	O(1)

优缺点总结：
- 优点： 随机访问快（O(1)）；存储密度高。
- 缺点： 插入/删除需要移动大量元素（O(n)）；需要预分配/连续空间，静态分配不灵活，动态分配扩展开销大。

3. 线性表的链式表示与实现（链表）

链式存储通过指针表示元素间的逻辑关系。不需要连续存储空间。核心概念是结点（Node）。

单链表 (Singly Linked List)：

结点结构： 数据域 (data) + 指针域 (next)

typedef struct LNode {ElemType data;          // 数据域struct LNode *next;     // 指针域，指向下一个结点
} LNode, *LinkList;

头指针： 指向链表中第一个结点（首元结点）的指针。是链表的标识。LinkList L;
头结点：
- 概念：在单链表的第一个结点之前附加的一个结点。
- 数据域：通常不存储信息（或存储表长等元信息）。
- 指针域：指向首元结点。
- 引入头结点的优点：
  1. 统一操作： 对首元结点的插入/删除操作与其他位置结点的操作逻辑完全一致（无需特殊处理空表或在表头插入/删除）。
  2. 简化判空： 空表时，头结点的指针域为 NULL (L->next == NULL)。
  3. 头指针不变： 头指针始终指向头结点，无论链表如何变化（插入/删除首元结点）。
- 引入头结点的缺点： 多占用一个结点的空间（存储密度略微降低）。

基本操作实现与时间复杂度分析：

操作	算法描述	时间复杂度	说明
建立	头插法：新结点始终插入头结点之后。生成链表顺序与输入顺序相反。尾插法：需维护尾指针，新结点插入尾部。生成链表顺序与输入顺序相同。	O(n)	头插法常用于逆序。尾插法需要记住尾指针位置。
插入	1. 找到第 `i-1` 个结点（前驱结点p） 2. 创建新结点s，s->data = e 3. s->next = p->next 4. p->next = s	O(1) (已知p) O(n) (需查找p)	核心：修改指针顺序（先连后断）。在p后插入只需O(1)。按位插入需查找O(n)。
删除	1. 找到第 `i-1` 个结点（前驱结点p） 2. q = p->next (指向要删除的结点) 3. p->next = q->next 4. e = q->data; free(q)	O(1) (已知p) O(n) (需查找p)	核心：修改指针并释放空间。删除p后的结点只需O(1)。按位删除需查找O(n)。
按位查找	从首元结点开始，顺指针next域逐个向后搜索，直到第i个结点。	O(n)
按值查找	从首元结点开始，顺指针next域逐个向后比较data域，直到找到值等于e的结点。	O(n)
求长度	设置计数器，从头结点（或首元结点）开始遍历整个链表计数。	O(n)	顺序表O(1)，链表O(n)是重要区别。
判空 (带头结点)	判断 `L->next == NULL`	O(1)

优缺点总结：
- 优点： 插入/删除操作方便快速（在已知位置插入/删除只需修改指针O(1)）；不需要预分配连续空间，空间分配灵活。
- 缺点： 不能随机访问，查找元素需要顺序扫描（O(n)）；存储密度较低（需要额外空间存储指针）；访问元素需要从头指针开始遍历。

双链表 (Doubly Linked List)：
- 结点结构： prior指针域 + 数据域 (data) + next指针域
```
typedef struct DNode {ElemType data;struct DNode *prior, *next; // 指向前驱和后继
} DNode, *DLinklist;
```
- 优点： 可以双向遍历链表。插入和删除操作更灵活（尤其当需要定位前驱结点时，单链表需要O(n)时间查找前驱）。
- 插入操作 (在p结点后插入s)：
```
s->next = p->next;
if (p->next != NULL) p->next->prior = s; // 如果p不是最后一个结点
s->prior = p;
p->next = s;
```
- 删除操作 (删除p结点)：
```
p->prior->next = p->next;
if (p->next != NULL) p->next->prior = p->prior;
free(p);
```
- 时间复杂度： 在已知结点p位置进行插入或删除操作的时间复杂度为 O(1)（无需查找前驱）。
循环链表 (Circular Linked List)：
- 单循环链表： 表中最后一个结点的指针域指向头结点（带头结点时）或首元结点（不带头结点时）。整个链表形成一个环。
  - 判空：L->next == L (带头结点)
  - 优点：从表中任意结点出发均可访问到表中所有结点。常用于需要循环处理的场景（如约瑟夫问题）。
- 双循环链表： 在双链表的基础上，头结点的prior指向尾结点，尾结点的next指向头结点。
  - 判空：L->next == L && L->prior == L (带头结点)
静态链表 (Static Linked List)：
- 原理： 借助数组来描述链式结构。数组元素包含 data 和 游标 cur (相当于指针，存储下一个元素在数组中的下标)。
- 实现：
```
#define MaxSize 50
typedef struct {ElemType data;int cur; // 游标，0号单元cur指向第一个备用结点(空闲结点)，最后一个空闲结点cur=0
} SLinkList[MaxSize];
```
- 特点：
  - 需要预先分配一个较大的连续数组空间。
  - 插入/删除操作不需要移动元素，只需要修改游标（类似链表修改指针）。
  - 失去了顺序表随机存取的特性。
  - 解决了在不支持指针的高级语言（如早期Basic、Fortran）中实现链表的问题。现代应用较少，但考研中可能涉及原理理解。
- 操作： 分配空闲结点（从备用链表中取）、回收空闲结点（放回备用链表）、插入、删除等操作需维护游标。

4. 顺序表 vs. 链表的比较

比较项目	顺序表	链表	适用场景
存储空间	连续存储单元	离散存储单元（通过指针链接）
存储密度	高（=1，只存数据）	较低（<1，需额外存储指针）	空间紧张优先顺序表
随机访问	支持，`O(1)`	不支持，`O(n)`	需要频繁按序号访问用顺序表
插入/删除操作	平均需移动约一半元素，`O(n)`	修改指针，`O(1)` (已知位置) / `O(n)` (需查找)	需要频繁插入/删除用链表
空间分配	静态分配：固定大小，易溢出/浪费动态分配：可扩展但效率低	动态分配，按需申请，灵活高效	表长变化大，难以预估用链表
缓存友好性	好（空间局部性）	差
实现难度	简单	较复杂（指针操作需谨慎）
典型应用	数组、堆栈、队列（顺序实现）	堆栈、队列（链式实现）、树、图的邻接表

5. 线性表的应用

基于线性表的操作实现更复杂的结构或算法（如多项式相加、集合运算）。
作为其他数据结构（栈、队列、字符串）的基础实现方式（顺序存储或链式存储）。

考研备考重点与难点

线性表ADT的理解： 熟练掌握线性表的定义、特性（序列性、前驱后继关系）和基本操作的含义。
顺序表的实现与操作：
- 深刻理解顺序存储的原理（逻辑相邻=物理相邻）。
- 重点掌握插入、删除操作的算法步骤和代码实现，及其时间复杂度分析（移动元素的计算）。
- 理解静态分配和动态分配的区别与限制。
单链表的实现与操作 (重中之重！)：
- 透彻理解带头结点和不带头结点单链表的区别（特别是对表头操作的影响）。 考研中绝大多数链表操作基于带头结点链表。
- 熟练掌握单链表的建立（头插法、尾插法）、插入、删除操作的算法步骤、代码实现和指针修改顺序。 “先连后断”是核心口诀。
- 熟练掌握按位查找、按值查找、求长度、判空等操作的实现和时间复杂度。
- 理解头插法产生逆序的原因。
双链表与循环链表：
- 掌握双链表结点的结构和特点（prior指针）。
- 熟练掌握在已知结点p位置进行插入和删除操作的算法步骤和指针修改（注意修改prior和next两个方向）。
- 理解循环单链表/双链表的判空条件。
- 了解循环链表在解决特定问题（如约瑟夫环）时的优势。
静态链表： 理解其工作原理（用数组+游标模拟指针）、优缺点和适用场景。能看懂静态链表的基本操作。
顺序表 vs. 链表的综合比较： 能根据应用场景（访问模式、插入删除频率、空间要求）选择合适的存储结构。表格对比中的各项内容是选择题和简答题高频考点。
算法设计与分析：
- 链表操作边界条件： 空表、表头/表尾插入删除、查找不到元素等情况的处理必须严谨。
- 双指针技巧： 链表问题中常用技巧（如快慢指针找中点、判断环、倒数第k个结点；前后指针删除结点）。
- 递归： 理解链表遍历、反转等操作的递归实现（虽然空间复杂度O(n)，但有助于理解递归思想）。
- 复杂度分析： 能准确分析给定链表算法（特别是涉及遍历、查找的操作）的时间复杂度和空间复杂度。

备考建议

动手写代码： 链表操作极易出错（指针丢失、内存泄漏、边界条件）。务必亲自编写、调试本章所有核心操作的代码（建立、插入、删除、查找、反转、合并等），理解每一步指针的变化。画图辅助理解指针操作过程。
深入理解指针： 链表的核心在于指针操作。确保对C语言的指针概念（指向、解引用、指针运算）有扎实掌握。理解 LinkList L (头指针) 和 LNode *p (结点指针) 的区别与联系。
重视时间复杂度： 时刻牢记顺序表和链表在不同操作上的时间复杂度差异，这是选择题和分析题的核心考点。
对比记忆： 将顺序表和链表的关键特性、操作复杂度做成对比表格，反复记忆。
研究真题： 历年考研真题中关于线性表（尤其是链表）的题目非常多，题型涵盖选择题（概念、复杂度、简单操作结果）、应用题（设计算法解决特定问题）、算法题（实现指定操作）。认真分析真题，掌握命题规律和答题技巧。
理解“带头结点”的优越性： 考研题目和标准实现几乎都使用带头结点的链表，务必习惯并深刻理解其带来的操作统一性。
注意边界和异常： 在编写和阅读算法时，特别注意处理非法位置（i<1或i>n+1）、空表、空间分配失败等异常情况。健壮性是算法设计的重要要求。