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Leetcode 3569. Maximize Count of Distinct Primes After Split

news 来源：原创 2025/6/3 14:59:12

Leetcode 3569. Maximize Count of Distinct Primes After Split
- 1. 解题思路
- 2. 代码实现

题目链接：3569. Maximize Count of Distinct Primes After Split

1. 解题思路

这一题的话思路倒是还好，显然，要找出所有distinct的质数的切分，我们首先就是先将 $10^5$ 以内的所有质数找出来，这样，我们就能够快速的找出原始的数组当中的所有的质数的位置了。

然后，我们考察最优的切分方式，注意到：

所有仅出现一次的质数，无论怎么切分，其贡献值都为一；
对于出现过多次的质数，考察其第一次出现的位置与最后一次出现的位置，我们只要在其中间任意位置切一刀，则其贡献值就会由1变成2。

因此，这道题事实上也就变成了，给定若干个区域 $l_i, r_i]$ ，找出一个位置 $p$ ，使之同时存在的区域最多。这个的话我们只需要依次将所有的 $l_i, r_i]$ 上的元素加一，然后考察线段当中的最大值即可。

但是，我们需要频繁地对对元素进行修改以及query，因此我们需要不断地修改整段区间 $l_k, r_k]$ 上的值，然后再去进行query，这个就是一个标准的Lazy Segment Tree的题目了，虽然我还是不能熟练地写出对应的代码，不过相关的内容网上多的是，deepseek也能很快速地给出对应的代码实现，所以这里就不过多赘述了。

事实上，对应的Lazy Segment Tree的算法实现，我也是直接让deepseek帮我写作完成的……

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

def get_primes(n):status = [0 for _ in range(n+1)]primes = set()for i in range(2, n+1):if status[i] != 0:continueprimes.add(i)for j in range(i, n+1, i):status[j] = 1return primesPRIMES = get_primes(10**5)class LazySegmentTree:def __init__(self, arr):"""根据数组 arr 构建惰性线段树:param arr: 输入数组"""self.n = len(arr)self.arr = arr# 初始化线段树和惰性标记数组（4倍原始数组大小）self.size = 4 * self.nself.tree = [-float('inf')] * self.size  # 存储区间最大值self.lazy = [0] * self.size             # 存储惰性标记self._build(0, 0, self.n - 1)           # 从根节点开始建树def _build(self, node, start, end):"""递归构建线段树:param node: 当前节点索引:param start: 当前节点表示的区间起始索引:param end: 当前节点表示的区间结束索引"""if start == end:# 叶子节点，直接存储数组值self.tree[node] = self.arr[start]returnmid = (start + end) // 2left_node = 2 * node + 1  # 左子节点索引right_node = 2 * node + 2  # 右子节点索引# 递归构建左右子树self._build(left_node, start, mid)self._build(right_node, mid + 1, end)# 当前节点值为左右子树的最大值self.tree[node] = max(self.tree[left_node], self.tree[right_node])def _push_down(self, node, start, end):"""下推惰性标记到子节点:param node: 当前节点索引:param start: 当前节点表示的区间起始索引:param end: 当前节点表示的区间结束索引"""if self.lazy[node] != 0:# 更新当前节点的值self.tree[node] += self.lazy[node]if start != end:  # 非叶子节点，标记下推left_node = 2 * node + 1right_node = 2 * node + 2# 将惰性标记添加到子节点self.lazy[left_node] += self.lazy[node]self.lazy[right_node] += self.lazy[node]# 清除当前节点的惰性标记self.lazy[node] = 0def update(self, l, r, val):"""将闭区间 [l, r] 内的所有元素增加 val:param l: 区间左边界:param r: 区间右边界:param val: 要增加的值"""self._update(0, 0, self.n - 1, l, r, val)def _update(self, node, start, end, l, r, val):"""递归执行区间更新:param node: 当前节点索引:param start: 当前节点表示的区间起始索引:param end: 当前节点表示的区间结束索引:param l: 更新区间左边界:param r: 更新区间右边界:param val: 要增加的值"""# 先下推当前节点的惰性标记self._push_down(node, start, end)# 当前节点区间与更新区间无交集if start > r or end < l:return# 当前节点区间完全包含在更新区间内if l <= start and end <= r:# 更新当前节点值self.tree[node] += valif start != end:  # 非叶子节点，更新子节点惰性标记left_node = 2 * node + 1right_node = 2 * node + 2self.lazy[left_node] += valself.lazy[right_node] += valreturn# 部分重叠，递归更新子区间mid = (start + end) // 2left_node = 2 * node + 1right_node = 2 * node + 2self._update(left_node, start, mid, l, r, val)self._update(right_node, mid + 1, end, l, r, val)# 更新当前节点值为左右子树的最大值self.tree[node] = max(self.tree[left_node], self.tree[right_node])def query(self, l, r):"""查询闭区间 [l, r] 内的最大元素值:param l: 查询区间左边界:param r: 查询区间右边界:return: 区间内的最大值"""return self._query(0, 0, self.n - 1, l, r)def _query(self, node, start, end, l, r):"""递归执行区间查询:param node: 当前节点索引:param start: 当前节点表示的区间起始索引:param end: 当前节点表示的区间结束索引:param l: 查询区间左边界:param r: 查询区间右边界:return: 区间内的最大值"""# 先下推当前节点的惰性标记self._push_down(node, start, end)# 当前节点区间与查询区间无交集if start > r or end < l:return -float('inf')# 当前节点区间完全包含在查询区间内if l <= start and end <= r:return self.tree[node]# 部分重叠，递归查询子区间mid = (start + end) // 2left_node = 2 * node + 1right_node = 2 * node + 2left_max = self._query(left_node, start, mid, l, r)right_max = self._query(right_node, mid + 1, end, l, r)return max(left_max, right_max)class Solution:def maximumCount(self, nums: List[int], queries: List[List[int]]) -> List[int]:primes_locs = defaultdict(list)for i, x in enumerate(nums):if x in PRIMES:primes_locs[x].append(i)n = len(nums)segment_tree = LazySegmentTree([0 for _ in range(n)])for p, locs in primes_locs.items():if len(locs) > 1:segment_tree.update(locs[0], locs[-1], 1)def query(idx, val):nonlocal primes_locs, segment_tree, numsold_val = nums[idx]nums[idx] = valif old_val == val:return len(primes_locs) + segment_tree.query(0, n-1)if old_val in PRIMES:l, r = primes_locs[old_val][0], primes_locs[old_val][-1]primes_locs[old_val].pop(bisect.bisect_left(primes_locs[old_val], idx))if l == r:primes_locs.pop(old_val)passelif len(primes_locs[old_val]) == 1:segment_tree.update(l, r, -1)elif l == idx:new_l = primes_locs[old_val][0]segment_tree.update(idx, new_l-1, -1)elif r == idx:new_r = primes_locs[old_val][-1]segment_tree.update(new_r+1, idx, -1)if val in PRIMES:if val not in primes_locs:primes_locs[val] = [idx]else:l, r = primes_locs[val][0], primes_locs[val][-1]bisect.insort(primes_locs[val], idx)if len(primes_locs[val]) == 2:l, r = primes_locs[val][0], primes_locs[val][-1]segment_tree.update(l, r, 1)elif idx < l:segment_tree.update(idx, l-1, 1)elif idx > r:segment_tree.update(r+1, idx, 1)return len(primes_locs) + segment_tree.query(0, n-1)return [query(idx, val) for idx, val in queries]