CQF预备知识：一、微积分 -- 1.8.3 二元泰勒展开详解

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本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。

教程涵盖以下四个主题：

• 微积分
• 线性代数
• 微分方程
• 概率与统计

1.8.3 二元泰勒展开详解

一、二元泰勒展开基础

1. 展开形式

   对于足够光滑的二元函数$f(x,t)$，在点$(x_0,t_0)$处的泰勒展开式为：

   $$\begin{array}{rl}f(x,t)& =f(x_0,t_0)\\ & +(x-x_0)\cdot f_x(x_0,t_0)+(t-t_0)\cdot f_t(x_0,t_0)\\ & +\frac{1}{2}[(x-x_0{)}^2{f}_{xx}(x_0,t_0)\\ & +2(x-x_0)(t-t_0)f_{xt}(x_0,t_0)\\ & +(t-t_0{)}^2{f}_{tt}(x_0,t_0)]+\cdots \end{array}$$

2. 结构解析

   • 常数项：$f(x_0,t_0)$表示函数在基准点的初始值
   • 线性项：
     $(x-x_0)f_x$ 和 $(t-t_0)f_t$ 反映函数沿x方向和t方向的一阶线性变化
   • 二次项：
     $\frac{1}{2}(x-x_0{)}^2{f}_{xx}$ 表示x方向的曲率
     $\frac{1}{2}(t-t_0{)}^2{f}_{tt}$ 表示t方向的曲率
     $2(x-x_0)(t-t_0)f_{xt}$ 描述x-t平面上的耦合效应

   完整形式：

   $$f(x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^k\partial t^{n-k}}\cdot (x-x_0{)}^k(t-t_0{)}^{n-k}$$

二、误差特性分析

当保留到二阶项时截断误差满足：

$$\text{误差}=O\left((\Delta x{)}^3+(\Delta x{)}^2\Delta t+\Delta x(\Delta t{)}^2+(\Delta t{)}^3\right)$$

其中$\Delta x=x-x_0$，$\Delta t=t-t_0$。误差量级比保留项高一级，说明：

• 当$\Delta x,\Delta t\to 0$时，误差趋于零的速度比二次项更快
• 实际应用中二阶近似已具有足够精度

应用提示：在随机微分方程中，这种误差特性是伊藤引理成立的关键基础

三、全微分推导

1. 变化量表达式

   当变量发生微小变化：

   $$\{\begin{array}{l}x\to x+\delta x\\ y\to y+\delta y\end{array}$$

   函数变化量可表示为：

   $$\begin{array}{rl}f(x+\delta x,y+\delta y)-f(x,y)& =\underset{\text{线性主部}}{\underbrace{f_x\delta x+f_y\delta y}}\\ & +\frac{1}{2}{f}_{xx}(\delta x{)}^2+\frac{1}{2}{f}_{yy}(\delta y{)}^2\\ & +f_{xy}\delta x\delta y+\cdots \end{array}$$

2. 微分定义

   当仅保留线性项时，定义全微分：

   $$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

   其中：

   • $dx=\delta x$, $dy=\delta y$ 表示自变量的微分
   • 系数$\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ 称为函数对相应变量的敏感度

3. 几何解释

   • 每个偏导数对应函数在坐标轴方向的斜率
   • 全微分表示函数在切平面上的高度变化
   • 线性近似误差随距离平方量级增长

四、核心公式总结

概念	公式表达
泰勒展开	$f(x,t)=f(x_0,t_0)+\nabla f\cdot (\Delta x,\Delta t)+\frac{1}{2}(\Delta x,\Delta t)\cdot H\cdot (\Delta x,\Delta t{)}^T+\cdots$
全微分	$df=f_{x}dx+f_{y}dy$
误差估计	$\Delta f-df=O(||(\delta x,\delta y)|{|}^2)$

其中：

• $\nabla f=(f_x,f_t)$ 为梯度向量
• $H=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xt}\\ f_{tx}& f_{tt}\end{array}\right)$ 为Hessian矩阵
• $||\cdot ||$ 表示欧几里得范数

五、应用注意事项

1. 可微性要求：需要函数在区域内存在连续的二阶偏导数

2. 对称性条件：混合偏导数需满足$f_{xy}=f_{yx}$（满足Schwarz定理）

3. 近似范围：当$\delta x,\delta y$超过特征尺度$\sqrt{\frac{2|f|}{|f_{xx}|}}$时，线性近似将失效

4. 张量表示：高阶展开可用爱因斯坦求和约定简写为

   $$f(x+\delta x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}(\delta x^i{\partial }_i{)}^{n}f$$

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