蓝桥杯b组c++赛道---数位dp

一、定义与适用场景：

数位 DP 是一种用于解决与数字的数位相关问题的动态规划方法。适用于统计区间内满足特定条件的数字个数、计算数字范围内各位数字之和满足某种条件的最大数字等问题。例如，统计给定区间内不含数字 4 的整数个数，或者统计各位数字之和为特定值的数字个数等。

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二、基本原理：

• 状态定义：通常用 dp[i][state] 来表示状态，其中 i 表示当前处理到数字的第 i 位（从高位到低位），state 表示与数位相关的某种状态，比如前面 i 位数字的和、出现过的数字集合等。例如，要统计区间内各位数字之和为 k 的数字个数，那么 dp[i][j] 可以表示处理到第 i 位时，前 i 位数字之和为 j 的数字个数。
• 状态转移方程：根据当前位的数字取值以及前一位的状态来确定当前状态。例如，对于统计不含数字 4 的数字个数问题，假设当前位为 i ，如果当前位不能取 4 ，那么 dp[i][state] 就等于 dp[i−1][state] （当前位取 0 到 3 ）加上 dp[i−1][state′] （当前位取 5 到 9 ，这里 state′ 是根据当前位取值更新后的状态）。
• 边界条件：一般来说，当 i=0 时，即处理到最高位之前，状态通常为初始状态。例如，对于统计数字个数的问题，初始状态 dp[0][0] 可以设为 1 ，表示空数字是一种合法的状态，而其他 dp[0][j] （j≠0 ）设为 0 。

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三、解题步骤：

1. 确定状态：分析问题，确定需要用哪些变量来表示数字的状态。比如，是考虑数字的每一位之和、特定数字出现的次数，还是数字的某种排列组合情况等。
2. 定义 dp 数组：根据确定的状态，定义 dp 数组来存储中间结果。数组的维度通常与状态变量的个数相关。
3. 初始化 dp 数组：设置边界条件和初始状态。这是动态规划的起点，通常根据问题的具体情况来确定。
4. 计算状态转移：从高位到低位依次枚举数字的每一位，根据当前位的取值和之前的状态，通过状态转移方程计算当前状态的值。
5. 得到答案：根据题目要求，从 dp 数组中提取最终的答案。可能是 dp 数组中的某个特定元素，或者是对 dp 数组中多个元素的组合计算。

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四、示例题目及分析：

度的数量问题描述：求给定区间[X,Y]中满足下列条件的整数个数:这个数恰好等于K个互不相等的 B 的整数次幂之和。例如，设X = 15,Y =20,K=2,B=2，则有且仅有下列三个数满足题意:
17=2^4+2^0
18 =2^4+2^1
20=2^4+2^2
输入格式
第一行包含两个整数 X和 Y，接下来两行包含整数 K 和 B
输出格式
只包含一个整数，表示满足条件的数的个数。
数据范围
1≤X ≤Y ≤ 2^31-1,
1<=K<20,
2<=B<10
输入样例:
15 20
2
2
输出样例:
3

解题思路

这个问题可以通过数位动态规划（DP）来解决。关键在于将整数转换为 B 进制表示，并统计满足条件的数字个数。

核心分析

1. B 进制表示：每个整数 N 都可以唯一表示为 B 的不同次幂之和，即 B 进制表示。例如，17 的二进制表示为 10001，对应 2⁴ + 2⁰。

2. 条件转换：问题转化为统计区间 [X,Y] 内的数，其 B 进制表示中恰好有 K 个 1，其余位为 0。

3. 数位 DP 框架：

   • 状态定义：f[i][j]表示处理到第i位时，已经有j个 1。
   • 状态转移：枚举当前位的可能取值（0 或 1，受limit限制），并更新状态。
   • 边界条件：处理完所有位后，检查cnt是否等于 K。

4. 前缀和思想：计算 [1,Y] 和 [1,X-1] 的结果，然后相减得到 [X,Y] 的结果。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int maxn=100000+5;
const int mod=1e9+9;int l,r,k,b;//区间【l，r】  k个1 b进制    转换为b进制数，有k个互不相同的数，相当于b进制数里面有k个1
int f[35][35];//整数最多32位，扩大一点防止越界//初始化组合数
void init() {for(int i=0; i<35; i++) {for(int j=0; j<=i; j++) {if(!j)f[i][j]=1;//组合数 C(i,0)=1else {f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];//不填1(填0),剩余i-1位仍需填j个1   填1，剩余i-1位填j-1个1}}}
}//数位 DP 核心函数 dp
int dp(int n) {if(!n)return 0;//传进来区间为0//用vector存储进制数vector<int>num;while(n) {num.push_back(n%b);n/=b;}int res=0,last=0;//res统计区间内满足条件的个数  last记录数字里面1的个数//根据数位dp的概念 从最高位开始求取for(int i=num.size()-1; i>=0; i--) {int x=num[i];//便于后续处理//若 x=0：当前位只能填 0，无法填 1（否则超过原数），直接跳过。//若 x≥1：可以填 0 或 1，进入分支处理。if(x) {//存在左分支res+=f[i][k-last];//在当前位填 0，剩余的i位中需要选出k-last个 1//右分支：有很多种可能，此刻遍历当前位填 1的情况 if(x>1) {if(k-last-1>=0) {//左分支填 1：若当前位填 1，剩余i位中需选k-last-1个 1。res+=f[i][k-last-1];}break;} else {//当x==1就可以进入右边的分支继续讨论。last++;if(last>k)break;//说明 1 的数量已超标，直接退出}}//如果符合条件那么末位填0也算一种方案。if(!i&&last==k)res++;}return res;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin>>l>>r>>k>>b;init();cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;return 0;
}